Страница 127 номер 13.34, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Дано: \(z_1 = 1 - i\), \(z_2 = 3 + 2i\). Вычислите: 1) \(\frac{z_1 + \overline{z}_2}{(z_2)^2}\); 2) \(\frac{z_1 - \overline{z}_2}{\overline{z}_1 - z_2}\); 3) \(\frac{(\overline{z}_1 + z_2)^2}{z_2}\).
Сопряжённые числа: \(\overline{z}_1 = 1 + i\), \(\overline{z}_2 = 3 - 2i\).
1) \[\begin{aligned} &\frac{z_1 + \overline{z}_2}{(z_2)^2} = \frac{1 - i + 3 - 2i}{(3 + 2i)^2} = \frac{4 - 3i}{9 + 12i - 4} = \frac{4 - 3i}{5 + 12i} = {} \\ &= \frac{(4 - 3i)(5 - 12i)}{(5 + 12i)(5 - 12i)} = \frac{20 - 48i - 15i - 36}{25 + 144} = {} \\ &= \frac{-16 - 63i}{169} = -\frac{16}{169} - \frac{63}{169}i. \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &\frac{z_1 - \overline{z}_2}{\overline{z}_1 - z_2} = \frac{1 - i - 3 + 2i}{1 + i - 3 - 2i} = \frac{-2 + i}{-2 - i} = \frac{(-2 + i)^2}{(-2 - i)(-2 + i)} = {} \\ &= \frac{4 - 4i - 1}{4 + 1} = \frac{3 - 4i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i. \end{aligned}\]
3) \[\begin{aligned} &\frac{(\overline{z}_1 + z_2)^2}{z_2} = \frac{(1 + i + 3 + 2i)^2}{3 + 2i} = \frac{(4 + 3i)^2}{3 + 2i} = \frac{16 + 24i - 9}{3 + 2i} = {} \\ &= \frac{7 + 24i}{3 + 2i} = \frac{(7 + 24i)(3 - 2i)}{(3 + 2i)(3 - 2i)} = \frac{21 - 14i + 72i + 48}{9 + 4} = {} \\ &= \frac{69 + 58i}{13} = \frac{69}{13} + \frac{58}{13}i. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(-\frac{16}{169} - \frac{63}{169}i\); 2) \(\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i\); 3) \(\frac{69}{13} + \frac{58}{13}i\).
Дано: \(z_1 = 1 - i\), \(z_2 = 3 + 2i\). Вычислите: 1) \(\frac{z_1 + \overline{z}_2}{(z_2)^2}\); 2) \(\frac{z_1 - \overline{z}_2}{\overline{z}_1 - z_2}\); 3) \(\frac{(\overline{z}_1 + z_2)^2}{z_2}\).
Числа, сопряжённые данным: \(\overline{z}_1 = 1 + i\), \(\overline{z}_2 = 3 - 2i\). Действия выполняем по правилам действий с многочленами, заменяя \(i^2\) на \(-1\). Чтобы найти частное, умножаем числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое знаменателю.
1) \[\begin{aligned} &\frac{z_1 + \overline{z}_2}{(z_2)^2} = \frac{1 - i + 3 - 2i}{(3 + 2i)^2} = \frac{4 - 3i}{9 + 12i - 4} = \frac{4 - 3i}{5 + 12i} = {} \\ &= \frac{(4 - 3i)(5 - 12i)}{(5 + 12i)(5 - 12i)} = \frac{20 - 48i - 15i - 36}{25 + 144} = {} \\ &= \frac{-16 - 63i}{169} = -\frac{16}{169} - \frac{63}{169}i. \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &\frac{z_1 - \overline{z}_2}{\overline{z}_1 - z_2} = \frac{1 - i - 3 + 2i}{1 + i - 3 - 2i} = \frac{-2 + i}{-2 - i} = \frac{(-2 + i)^2}{(-2 - i)(-2 + i)} = {} \\ &= \frac{4 - 4i - 1}{4 + 1} = \frac{3 - 4i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i. \end{aligned}\]
3) \[\begin{aligned} &\frac{(\overline{z}_1 + z_2)^2}{z_2} = \frac{(1 + i + 3 + 2i)^2}{3 + 2i} = \frac{(4 + 3i)^2}{3 + 2i} = \frac{16 + 24i - 9}{3 + 2i} = {} \\ &= \frac{7 + 24i}{3 + 2i} = \frac{(7 + 24i)(3 - 2i)}{(3 + 2i)(3 - 2i)} = \frac{21 - 14i + 72i + 48}{9 + 4} = {} \\ &= \frac{69 + 58i}{13} = \frac{69}{13} + \frac{58}{13}i. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(-\frac{16}{169} - \frac{63}{169}i\); 2) \(\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i\); 3) \(\frac{69}{13} + \frac{58}{13}i\).
