Страница 192 номер 26.23, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

По формулам синуса и косинуса тройного аргумента \(\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha\), \(\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha\) и основному тригонометрическому тождеству: \[\begin{aligned} \sin 3\alpha + 4\sin^3\alpha &= 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha + 4\sin^3\alpha = 3\sin\alpha; \\ \cos 3\alpha - 4\cos^3\alpha &= 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha - 4\cos^3\alpha = -3\cos\alpha; \\ \cos 3\alpha - \cos^3\alpha &= 3\cos^3\alpha - 3\cos\alpha = -3\cos\alpha\sin^2\alpha; \\ \sin 3\alpha + \sin^3\alpha &= 3\sin\alpha - 3\sin^3\alpha = 3\sin\alpha\cos^2\alpha. \end{aligned}\] Значит, левая часть имеет смысл при \(\cos\alpha \ne 0\), а правая — при \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne 0\). При этих условиях найдём разность левой и правой частей: \[\begin{aligned} &\frac{\sin 3\alpha + 4\sin^3\alpha}{\cos 3\alpha - 4\cos^3\alpha} - \frac{\cos 3\alpha - \cos^3\alpha}{\sin 3\alpha + \sin^3\alpha} = \frac{3\sin\alpha}{-3\cos\alpha} - \frac{-3\cos\alpha\sin^2\alpha}{3\sin\alpha\cos^2\alpha} = {} \\ &= -\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 0. \end{aligned}\] Разность равна нулю, следовательно, при \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne 0\) левая и правая части равны.

Ответ: тождество доказано (при \(\sin\alpha \ne 0\), \(\cos\alpha \ne 0\)).