Страница 192 номер 26.27, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите \(2 - 13\cos 2\alpha + \frac{1}{\sin 2\alpha}\), если \(\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{1}{5}\).
Так как \(\operatorname{ctg}\alpha = -\frac{1}{5} \ne 0\), то \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg}\alpha} = -5\). \[\begin{aligned} \sin 2\alpha &= \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2 \cdot (-5)}{1 + (-5)^2} = -\frac{10}{26} = -\frac{5}{13}; \\ \cos 2\alpha &= \frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{1 - (-5)^2}{1 + (-5)^2} = -\frac{24}{26} = -\frac{12}{13}. \end{aligned}\] Тогда \[\begin{aligned} &2 - 13\cos 2\alpha + \frac{1}{\sin 2\alpha} = 2 - 13 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) + 1 : \left(-\frac{5}{13}\right) = {} \\ &= 2 + 12 - \frac{13}{5} = 14 - \frac{13}{5} = \frac{57}{5}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{57}{5}\).
Вычислите \(2 - 13\cos 2\alpha + \frac{1}{\sin 2\alpha}\), если \(\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{1}{5}\).
Так как \(\operatorname{ctg}\alpha = -\frac{1}{5} \ne 0\), то \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg}\alpha} = -5\). При \(\cos\alpha \ne 0\) по формулам, выражающим синус и косинус через тангенс половинного аргумента: \[\begin{aligned} \sin 2\alpha &= \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2 \cdot (-5)}{1 + (-5)^2} = -\frac{10}{26} = -\frac{5}{13}; \\ \cos 2\alpha &= \frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{1 - (-5)^2}{1 + (-5)^2} = -\frac{24}{26} = -\frac{12}{13}. \end{aligned}\] Подставим найденные значения в выражение: \[\begin{aligned} &2 - 13\cos 2\alpha + \frac{1}{\sin 2\alpha} = 2 - 13 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) + 1 : \left(-\frac{5}{13}\right) = {} \\ &= 2 + 12 - \frac{13}{5} = 14 - \frac{13}{5} = \frac{57}{5}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{57}{5}\).
