Страницы 191-192 номер 26.18, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

1) По формуле \(1 + \cos 2x = 2\cos^2 x\) при \(x = 2\alpha\), а затем при \(x = \alpha\): \[\begin{aligned} &1 + 2\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 2\cos^2 2\alpha + 2\cos 2\alpha = 2\cos 2\alpha(\cos 2\alpha + 1) = {} \\ &= 2\cos 2\alpha \cdot 2\cos^2\alpha = 4\cos^2\alpha\cos 2\alpha. \end{aligned}\]

2) Применим формулы \(1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2\alpha\), \(1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha\) и формулу синуса двойного аргумента. Знаменатель левой части станет равным \(2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)\); левая часть имеет смысл, когда он не равен нулю, то есть при \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\sin\alpha + \cos\alpha \ne 0\), и при этих условиях дробь можно сократить на \(2(\sin\alpha + \cos\alpha)\): \[\begin{aligned} &\frac{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha} = \frac{2\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha} = {} \\ &= \frac{2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha. \end{aligned}\]

3) Применим формулу синуса двойного аргумента, формулу \(1 - \cos 2x = 2\sin^2 x\) при \(x = 2\alpha\) и основное тригонометрическое тождество: \[\begin{aligned} &\frac{\sin^2 2\alpha + 4\sin^2\alpha - 4}{1 - 8\sin^2\alpha - \cos 4\alpha} = \frac{4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4(1 - \sin^2\alpha)}{2\sin^2 2\alpha - 8\sin^2\alpha} = {} \\ &= \frac{4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4\cos^2\alpha}{8\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 8\sin^2\alpha} = \frac{4\cos^2\alpha(\sin^2\alpha - 1)}{8\sin^2\alpha(\cos^2\alpha - 1)} = {} \\ &= \frac{-4\cos^4\alpha}{-8\sin^4\alpha} = \frac{1}{2}\operatorname{ctg}^4\alpha. \end{aligned}\] Знаменатель левой части равен \(-8\sin^4\alpha\), поэтому обе части равенства имеют смысл при \(\sin\alpha \ne 0\), и при этом условии равенство верно.

4) По чётности косинуса и формуле приведения \(\cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 4\alpha\right) = \sin 4\alpha\); по периодичности синуса и формуле приведения \(\sin\left(\frac{5\pi}{2} + 2\alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right) = \cos 2\alpha\). По формуле \(1 + \cos 2x = 2\cos^2 x\) знаменатель левой части равен \(2\cos^2\alpha \cdot 2\cos^2 2\alpha\), поэтому левая часть имеет смысл при \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\cos 2\alpha \ne 0\); при этих условиях на \(\cos^2 2\alpha\) и на \(\cos\alpha\) можно сократить. Применим ещё формулу синуса двойного аргумента: \[\begin{aligned} &\frac{\cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{2} + 2\alpha\right)}{(1 + \cos 2\alpha)(1 + \cos 4\alpha)} = \frac{\sin 4\alpha\cos 2\alpha}{2\cos^2\alpha \cdot 2\cos^2 2\alpha} = {} \\ &= \frac{2\sin 2\alpha\cos^2 2\alpha}{4\cos^2\alpha\cos^2 2\alpha} = \frac{\sin 2\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \operatorname{tg}\alpha. \end{aligned}\]

5) Левая часть имеет смысл при \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne 0\) (иначе не определён \(\operatorname{ctg}\alpha\) или \(\operatorname{tg}\alpha\)) и при ненулевом знаменателе \(\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\), то есть при \(\cos 2\alpha \ne 0\). Умножим числитель и знаменатель на \(\sin\alpha\cos\alpha\), применим формулу \(1 + \cos 2x = 2\cos^2 x\) при \(x = 2\alpha\) и формулы двойного аргумента, сократим дробь на \(\cos 2\alpha\): \[\begin{aligned} &\frac{\cos 4\alpha + 1}{\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha} = \frac{2\cos^2 2\alpha\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha} = \frac{\cos^2 2\alpha\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = {} \\ &= \sin 2\alpha\cos 2\alpha = \frac{1}{2}\sin 4\alpha. \end{aligned}\]

6) По формуле синуса двойного аргумента \(\sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha\cos 2\alpha\), поэтому знаменатель левой части равен \(2\cos 2\alpha(1 + \sin 2\alpha)\). Левая часть имеет смысл, когда \(\cos 2\alpha \ne 0\) и \(\sin 2\alpha \ne -1\), то есть при \(\cos 2\alpha \ne 0\): если \(\sin 2\alpha = -1\), то \(\cos 2\alpha = 0\). При этом условии дробь можно сократить на \(2\cos 2\alpha\). Затем с помощью формулы приведения заменим синус на косинус и применим формулы \(1 - \cos 2x = 2\sin^2 x\) и \(1 + \cos 2x = 2\cos^2 x\) при \(x = 45^\circ - \alpha\): \[\begin{aligned} &\frac{2\cos 2\alpha - \sin 4\alpha}{2\cos 2\alpha + \sin 4\alpha} = \frac{2\cos 2\alpha(1 - \sin 2\alpha)}{2\cos 2\alpha(1 + \sin 2\alpha)} = \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} = {} \\ &= \frac{1 - \cos(90^\circ - 2\alpha)}{1 + \cos(90^\circ - 2\alpha)} = \frac{2\sin^2(45^\circ - \alpha)}{2\cos^2(45^\circ - \alpha)} = \operatorname{tg}^2(45^\circ - \alpha). \end{aligned}\]

Ответ: тождества доказаны: 1) при любом \(\alpha\); 2) при \(\cos\alpha \ne 0\), \(\sin\alpha + \cos\alpha \ne 0\); 3) при \(\sin\alpha \ne 0\); 4) при \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos 2\alpha \ne 0\); 5) при \(\sin\alpha \ne 0\), \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos 2\alpha \ne 0\); 6) при \(\cos 2\alpha \ne 0\).