Страница 194 номер 26.47, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

Так как \(36^\circ + 54^\circ = 90^\circ\), то по формуле приведения \(\sin 36^\circ = \cos 54^\circ\), то есть \(\sin(2 \cdot 18^\circ) = \cos(3 \cdot 18^\circ)\). Применим к левой части формулу синуса двойного аргумента, к правой — формулу косинуса тройного аргумента, и разделим обе части на \(\cos 18^\circ \ne 0\); затем заменим \(\cos^2 18^\circ\) на \(1 - \sin^2 18^\circ\): \[\begin{aligned} 2\sin 18^\circ\cos 18^\circ &= 4\cos^3 18^\circ - 3\cos 18^\circ; \qquad | : \cos 18^\circ \\ 2\sin 18^\circ &= 4\cos^2 18^\circ - 3; \\ 2\sin 18^\circ &= 4(1 - \sin^2 18^\circ) - 3; \\ 4\sin^2 18^\circ + 2\sin 18^\circ - 1 &= 0. \end{aligned}\] Это квадратное уравнение \(4t^2 + 2t - 1 = 0\) относительно \(t = \sin 18^\circ\): \[\begin{aligned} D &= 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 20; \\ t_{1,2} &= \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}. \end{aligned}\] Угол \(18^\circ\) лежит в I четверти, поэтому \(\sin 18^\circ > 0\). Корень \(\frac{-1 - \sqrt{5}}{4}\) отрицателен и не подходит, значит, \(\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}\).

Ответ: \(\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}\).