Страница 184 номер 25.10, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Сумма положительных чисел \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) равна \(\frac{\pi}{2}\). Докажите, что \(\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma > \sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma\).
Так как \(\gamma > 0\), то \(\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} - \gamma < \frac{\pi}{2}\), откуда \(\alpha < \frac{\pi}{2} - \beta\). При этом \(\alpha > 0\) и \(\frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2}\), так как \(\beta > 0\); значит, \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2}\). Функция \(y = \cos x\) убывает на промежутке \([0;\ \pi]\), а числа \(\alpha\) и \(\frac{\pi}{2} - \beta\) ему принадлежат, поэтому \(\cos\alpha > \cos\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = \sin\beta\).
Точно так же из \(\beta + \gamma = \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2}\) получаем \(\cos\beta > \cos\left(\frac{\pi}{2} - \gamma\right) = \sin\gamma\), а из \(\gamma + \alpha = \frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2}\) — \(\cos\gamma > \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha\).
Сложив почленно три полученных неравенства, получим: \[\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma > \sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma.\]
Ответ: если сумма положительных чисел \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) равна \(\frac{\pi}{2}\), то \(\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma > \sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma\).
Сумма положительных чисел \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) равна \(\frac{\pi}{2}\). Докажите, что \(\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma > \sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma\).
Так как \(\gamma > 0\), то \(\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} - \gamma < \frac{\pi}{2}\), откуда \(\alpha < \frac{\pi}{2} - \beta\). При этом \(\alpha > 0\) и \(\frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2}\), так как \(\beta > 0\); значит, \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2}\). Функция \(y = \cos x\) убывает на промежутке \([0;\ \pi]\), а числа \(\alpha\) и \(\frac{\pi}{2} - \beta\) ему принадлежат, поэтому \(\cos\alpha > \cos\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\). По формуле приведения \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = \sin\beta\), значит, \(\cos\alpha > \sin\beta\).
Точно так же из \(\beta + \gamma = \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2}\) получаем \(\cos\beta > \cos\left(\frac{\pi}{2} - \gamma\right) = \sin\gamma\), а из \(\gamma + \alpha = \frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2}\) — \(\cos\gamma > \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha\).
Сложив почленно неравенства \(\cos\alpha > \sin\beta\), \(\cos\beta > \sin\gamma\) и \(\cos\gamma > \sin\alpha\), получим: \[\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma > \sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma.\]
Ответ: если сумма положительных чисел \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) равна \(\frac{\pi}{2}\), то \(\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma > \sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma\).
