Страница 194 номер 26.44, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите тождество \(\sin^3 2\alpha \cos 6\alpha + \cos^3 2\alpha \sin 6\alpha = \frac{3}{4} \sin 8\alpha\).
Из \(\sin 6\alpha = 3\sin 2\alpha - 4\sin^3 2\alpha\) и \(\cos 6\alpha = 4\cos^3 2\alpha - 3\cos 2\alpha\) получаем \(\sin^3 2\alpha = \frac{3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha}{4}\) и \(\cos^3 2\alpha = \frac{3\cos 2\alpha + \cos 6\alpha}{4}\): \[\begin{aligned} &\sin^3 2\alpha\cos 6\alpha + \cos^3 2\alpha\sin 6\alpha = {} \\ &= \frac{(3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha)\cos 6\alpha + (3\cos 2\alpha + \cos 6\alpha)\sin 6\alpha}{4} = {} \\ &= \frac{3\sin 2\alpha\cos 6\alpha - \sin 6\alpha\cos 6\alpha + 3\cos 2\alpha\sin 6\alpha + \cos 6\alpha\sin 6\alpha}{4} = {} \\ &= \frac{3}{4}(\sin 2\alpha\cos 6\alpha + \cos 2\alpha\sin 6\alpha) = \frac{3}{4}\sin(2\alpha + 6\alpha) = \frac{3}{4}\sin 8\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: тождество доказано.
Докажите тождество \(\sin^3 2\alpha \cos 6\alpha + \cos^3 2\alpha \sin 6\alpha = \frac{3}{4} \sin 8\alpha\).
Запишем формулы синуса и косинуса тройного аргумента для угла \(2\alpha\): \(\sin 6\alpha = 3\sin 2\alpha - 4\sin^3 2\alpha\), \(\cos 6\alpha = 4\cos^3 2\alpha - 3\cos 2\alpha\). Отсюда \(\sin^3 2\alpha = \frac{3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha}{4}\) и \(\cos^3 2\alpha = \frac{3\cos 2\alpha + \cos 6\alpha}{4}\). Подставим эти выражения в левую часть и применим формулу синуса суммы: \[\begin{aligned} &\sin^3 2\alpha\cos 6\alpha + \cos^3 2\alpha\sin 6\alpha = {} \\ &= \frac{(3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha)\cos 6\alpha + (3\cos 2\alpha + \cos 6\alpha)\sin 6\alpha}{4} = {} \\ &= \frac{3\sin 2\alpha\cos 6\alpha - \sin 6\alpha\cos 6\alpha + 3\cos 2\alpha\sin 6\alpha + \cos 6\alpha\sin 6\alpha}{4} = {} \\ &= \frac{3}{4}(\sin 2\alpha\cos 6\alpha + \cos 2\alpha\sin 6\alpha) = \frac{3}{4}\sin(2\alpha + 6\alpha) = \frac{3}{4}\sin 8\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: тождество доказано.
