Вопросы после параграфа §26 на странице 189, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1. Запишите формулы косинуса, синуса и тангенса двойного аргумента. 2. Запишите формулы понижения степени. 3. Какие формулы называют формулами тройного аргумента? 4. Запишите формулы синуса, косинуса и тангенса половинного угла.
\[\begin{aligned} \cos 2\alpha &= \cos^2\alpha - \sin^2\alpha; \\ \sin 2\alpha &= 2\sin\alpha\cos\alpha; \\ \operatorname{tg} 2\alpha &= \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}. \end{aligned}\] Первые две формулы верны при любом \(\alpha\), третья — при \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\cos 2\alpha \ne 0\), когда определены \(\operatorname{tg}\alpha\) и \(\operatorname{tg} 2\alpha\).
Ещё две записи первой формулы: \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\) и \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\).
Ответ: \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\), \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\), \(\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}\).
\[\begin{aligned} \sin^2\alpha &= \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}; \\ \cos^2\alpha &= \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}. \end{aligned}\] Формулы верны при любом \(\alpha\).
Ответ: \(\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}\), \(\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}\).
Формулами тройного аргумента называют формулы, выражающие тригонометрические функции аргумента \(3\alpha\) через тригонометрические функции аргумента \(\alpha\): \[\begin{aligned} \sin 3\alpha &= 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha; \\ \cos 3\alpha &= 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha. \end{aligned}\] Формулы верны при любом \(\alpha\).
Ответ: формулами тройного аргумента называют формулы, выражающие тригонометрические функции аргумента \(3\alpha\) через тригонометрические функции аргумента \(\alpha\): \(\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha\), \(\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha\).
\(\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}\);
\(\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}\);
\(\operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}\), откуда
\[\begin{aligned} \left|\sin\frac{\alpha}{2}\right| &= \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}; \\ \left|\cos\frac{\alpha}{2}\right| &= \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}; \\ \left|\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\right| &= \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}. \end{aligned}\]
Формула тангенса верна при \(\cos\alpha \ne -1\), то есть когда \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\) определён. Знак синуса, косинуса и тангенса угла \(\frac{\alpha}{2}\) определяют по четверти, в которой лежит этот угол.
Ответ: \(\left|\sin\frac{\alpha}{2}\right| = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}\), \(\left|\cos\frac{\alpha}{2}\right| = \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}\), \(\left|\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\right| = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}\).
1. Запишите формулы косинуса, синуса и тангенса двойного аргумента. 2. Запишите формулы понижения степени. 3. Какие формулы называют формулами тройного аргумента? 4. Запишите формулы синуса, косинуса и тангенса половинного угла.
Формулы двойного аргумента получают из формул сложения, положив в них \(\beta = \alpha\): \[\begin{aligned} \cos 2\alpha &= \cos^2\alpha - \sin^2\alpha; \\ \sin 2\alpha &= 2\sin\alpha\cos\alpha; \\ \operatorname{tg} 2\alpha &= \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}. \end{aligned}\] Формулы косинуса и синуса двойного аргумента верны при любом \(\alpha\), формула тангенса двойного аргумента — при тех \(\alpha\), при которых определены \(\operatorname{tg}\alpha\) и \(\operatorname{tg} 2\alpha\), то есть при \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\cos 2\alpha \ne 0\).
Заменив в формуле косинуса двойного аргумента \(\cos^2\alpha\) на \(1 - \sin^2\alpha\) или \(\sin^2\alpha\) на \(1 - \cos^2\alpha\), получают ещё две её записи: \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\) и \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\).
Например, \(\sin 60^\circ = 2\sin 30^\circ\cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Ответ: \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\), \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\), \(\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}\).
Из формул \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\) и \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\) выражают квадраты синуса и косинуса: \[\begin{aligned} \sin^2\alpha &= \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}; \\ \cos^2\alpha &= \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}. \end{aligned}\] Эти формулы называют формулами понижения степени: квадрат синуса или косинуса в них выражен через косинус двойного аргумента в первой степени. Верны они при любом \(\alpha\).
Например, \(\cos^2 15^\circ = \frac{1 + \cos 30^\circ}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}\).
Ответ: \(\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}\), \(\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}\).
Формулами тройного аргумента называют формулы, выражающие тригонометрические функции аргумента \(3\alpha\) через тригонометрические функции аргумента \(\alpha\): \[\begin{aligned} \sin 3\alpha &= 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha; \\ \cos 3\alpha &= 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha. \end{aligned}\] Первую называют формулой синуса тройного аргумента, вторую — формулой косинуса тройного аргумента. Их получают, представив \(3\alpha\) в виде \(2\alpha + \alpha\) и применив формулы сложения, формулы двойного аргумента и основное тригонометрическое тождество. Верны они при любом \(\alpha\).
Например, при \(\alpha = 30^\circ\) формула синуса тройного аргумента даёт \(\sin 90^\circ = 3 \cdot \frac{1}{2} - 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1\).
Ответ: формулами тройного аргумента называют формулы, выражающие тригонометрические функции аргумента \(3\alpha\) через тригонометрические функции аргумента \(\alpha\): \(\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha\), \(\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha\).
Заменив в формулах понижения степени \(\alpha\) на \(\frac{\alpha}{2}\), получают \(\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}\) и \(\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}\); почленное деление первого равенства на второе даёт \(\operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}\). Отсюда формулы синуса, косинуса и тангенса половинного угла: \[\begin{aligned} \left|\sin\frac{\alpha}{2}\right| &= \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}; \\ \left|\cos\frac{\alpha}{2}\right| &= \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}; \\ \left|\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\right| &= \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}. \end{aligned}\] Формула тангенса половинного угла верна при \(\cos\alpha \ne -1\), то есть когда \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\) определён. Знак синуса, косинуса и тангенса угла \(\frac{\alpha}{2}\) определяют по тому, в какой четверти лежит этот угол.
Например, угол \(15^\circ\) лежит в I четверти, поэтому \(\sin 15^\circ > 0\) и \(\sin 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\).
Ответ: \(\left|\sin\frac{\alpha}{2}\right| = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}\), \(\left|\cos\frac{\alpha}{2}\right| = \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}\), \(\left|\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\right| = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}\).
