Страница 193 номер 26.38, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

1) Применим формулу \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\), выделим полные квадраты, затем применим формулы \(1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}\) и \(1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}\): \[\begin{aligned} &\frac{3 + 4\cos\alpha + \cos 2\alpha}{3 - 4\cos\alpha + \cos 2\alpha} = \frac{2 + 4\cos\alpha + 2\cos^2\alpha}{2 - 4\cos\alpha + 2\cos^2\alpha} = \frac{2(1 + \cos\alpha)^2}{2(1 - \cos\alpha)^2} = {} \\ &= \frac{\left(2\cos^2\frac{\alpha}{2}\right)^2}{\left(2\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)^2} = \frac{\cos^4\frac{\alpha}{2}}{\sin^4\frac{\alpha}{2}} = \operatorname{ctg}^4\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}\] Здесь \(\sin\frac{\alpha}{2} \ne 0\): знаменатель исходной дроби равен \(2(1 - \cos\alpha)^2 = 8\sin^4\frac{\alpha}{2}\) и не равен нулю.

2) По формуле разности квадратов и основному тригонометрическому тождеству \(\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\), а \(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = (1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)\). Выражение имеет смысл при \(\cos\alpha \ne 1\), поэтому дробь можно сократить на \(1 - \cos\alpha\); в конце применим формулу \(\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}\): \[\begin{aligned} &\frac{\cos^4\alpha - \sin^4\alpha - \cos^2\alpha}{2(\cos\alpha - 1)} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{2(\cos\alpha - 1)} = \frac{-\sin^2\alpha}{-2(1 - \cos\alpha)} = {} \\ &= \frac{(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)}{2(1 - \cos\alpha)} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} = \cos^2\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(\operatorname{ctg}^4\frac{\alpha}{2}\); 2) \(\cos^2\frac{\alpha}{2}\).