Страница 192 номер 26.19, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите тождество: 1) \(\sin^2 \left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right) - \sin^2 \left(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha\right) = -\sin 8\alpha\); 2) \(1 - 2\cos 3\alpha + \cos 6\alpha = -4\sin^2 \frac{3\alpha}{2} \cos 3\alpha\); 3) \(\frac{\sin^2 \left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{\operatorname{ctg} \left(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha\right) + \operatorname{tg} \left(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha\right)} = -\frac{1}{4} \sin 8\alpha\); 4) \(\frac{2\sin \alpha - \sin 2\alpha}{2\sin \alpha + \sin 2\alpha} = \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}\).
1) Учтём, что \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x\), \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x\): \[\begin{aligned} &\sin^2\left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right) - \sin^2\left(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha\right) = {} \\ &= \frac{1 - \cos\left(\frac{5\pi}{2} - 8\alpha\right)}{2} - \frac{1 - \cos\left(\frac{5\pi}{2} + 8\alpha\right)}{2} = {} \\ &= \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} + 8\alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2} - 8\alpha\right)}{2} = \frac{-\sin 8\alpha - \sin 8\alpha}{2} = -\sin 8\alpha. \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &1 - 2\cos 3\alpha + \cos 6\alpha = 2\cos^2 3\alpha - 2\cos 3\alpha = -2\cos 3\alpha(1 - \cos 3\alpha) = {} \\ &= -2\cos 3\alpha \cdot 2\sin^2\frac{3\alpha}{2} = -4\sin^2\frac{3\alpha}{2}\cos 3\alpha. \end{aligned}\]
3) \(\sin\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - 4\alpha\right) = -\cos 4\alpha\);
\(\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha\right) = \operatorname{tg} 2\alpha\);
\(\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha\right) = -\operatorname{ctg} 2\alpha\).
Левая часть имеет смысл при \(\cos 2\alpha \ne 0\), \(\sin 2\alpha \ne 0\) и ненулевом знаменателе \(\operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{ctg} 2\alpha = \frac{\sin^2 2\alpha - \cos^2 2\alpha}{\sin 2\alpha\cos 2\alpha} = -\frac{\cos 4\alpha}{\sin 2\alpha\cos 2\alpha}\), то есть ещё при \(\cos 4\alpha \ne 0\). При этих условиях умножим числитель и знаменатель на \(\sin 2\alpha\cos 2\alpha\): \[\begin{aligned} &\frac{\sin^2\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha\right) + \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha\right)} = \frac{\cos^2 4\alpha}{\operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{ctg} 2\alpha} = {} \\ &= \frac{\cos^2 4\alpha\sin 2\alpha\cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha - \cos^2 2\alpha} = \frac{\frac{1}{2}\cos^2 4\alpha\sin 4\alpha}{-\cos 4\alpha} = {} \\ &= -\frac{1}{2}\sin 4\alpha\cos 4\alpha = -\frac{1}{4}\sin 8\alpha. \end{aligned}\]
4) Знаменатель левой части равен \(2\sin\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha(1 + \cos\alpha)\). Он не равен нулю, когда \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne -1\), то есть при \(\sin\alpha \ne 0\): если \(\cos\alpha = -1\), то \(\sin\alpha = 0\). При этом условии дробь можно сократить на \(2\sin\alpha\); равенство \(\operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}\) верно при \(\cos\alpha \ne -1\): \[\begin{aligned} &\frac{2\sin\alpha - \sin 2\alpha}{2\sin\alpha + \sin 2\alpha} = \frac{2\sin\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha} = {} \\ &= \frac{2\sin\alpha(1 - \cos\alpha)}{2\sin\alpha(1 + \cos\alpha)} = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha} = \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}\]
Ответ: тождества доказаны: 1), 2) при любом \(\alpha\); 3) при \(\sin 2\alpha \ne 0\), \(\cos 2\alpha \ne 0\), \(\cos 4\alpha \ne 0\); 4) при \(\sin\alpha \ne 0\).
Докажите тождество: 1) \(\sin^2 \left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right) - \sin^2 \left(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha\right) = -\sin 8\alpha\); 2) \(1 - 2\cos 3\alpha + \cos 6\alpha = -4\sin^2 \frac{3\alpha}{2} \cos 3\alpha\); 3) \(\frac{\sin^2 \left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{\operatorname{ctg} \left(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha\right) + \operatorname{tg} \left(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha\right)} = -\frac{1}{4} \sin 8\alpha\); 4) \(\frac{2\sin \alpha - \sin 2\alpha}{2\sin \alpha + \sin 2\alpha} = \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}\).
1) Применим формулу понижения степени \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\), периодичность косинуса и формулы приведения \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x\), \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x\): \[\begin{aligned} &\sin^2\left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right) - \sin^2\left(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha\right) = {} \\ &= \frac{1 - \cos\left(\frac{5\pi}{2} - 8\alpha\right)}{2} - \frac{1 - \cos\left(\frac{5\pi}{2} + 8\alpha\right)}{2} = {} \\ &= \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} + 8\alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2} - 8\alpha\right)}{2} = \frac{-\sin 8\alpha - \sin 8\alpha}{2} = -\sin 8\alpha. \end{aligned}\]
2) По формулам \(1 + \cos 2x = 2\cos^2 x\) при \(x = 3\alpha\) и \(1 - \cos 2x = 2\sin^2 x\) при \(x = \frac{3\alpha}{2}\): \[\begin{aligned} &1 - 2\cos 3\alpha + \cos 6\alpha = 2\cos^2 3\alpha - 2\cos 3\alpha = -2\cos 3\alpha(1 - \cos 3\alpha) = {} \\ &= -2\cos 3\alpha \cdot 2\sin^2\frac{3\alpha}{2} = -4\sin^2\frac{3\alpha}{2}\cos 3\alpha. \end{aligned}\]
3) По нечётности синуса и формулам приведения \(\sin\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - 4\alpha\right) = -\cos 4\alpha\), \(\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha\right) = \operatorname{tg} 2\alpha\), \(\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha\right) = -\operatorname{ctg} 2\alpha\). Левая часть имеет смысл при \(\cos 2\alpha \ne 0\), \(\sin 2\alpha \ne 0\) и ненулевом знаменателе \(\operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{ctg} 2\alpha = \frac{\sin^2 2\alpha - \cos^2 2\alpha}{\sin 2\alpha\cos 2\alpha} = -\frac{\cos 4\alpha}{\sin 2\alpha\cos 2\alpha}\), то есть ещё при \(\cos 4\alpha \ne 0\). При этих условиях умножим числитель и знаменатель на \(\sin 2\alpha\cos 2\alpha\), применим формулы двойного аргумента и сократим дробь на \(\cos 4\alpha\): \[\begin{aligned} &\frac{\sin^2\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha\right) + \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha\right)} = \frac{\cos^2 4\alpha}{\operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{ctg} 2\alpha} = {} \\ &= \frac{\cos^2 4\alpha\sin 2\alpha\cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha - \cos^2 2\alpha} = \frac{\frac{1}{2}\cos^2 4\alpha\sin 4\alpha}{-\cos 4\alpha} = {} \\ &= -\frac{1}{2}\sin 4\alpha\cos 4\alpha = -\frac{1}{4}\sin 8\alpha. \end{aligned}\]
4) По формуле синуса двойного аргумента знаменатель левой части равен \(2\sin\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha(1 + \cos\alpha)\). Он не равен нулю, когда \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne -1\), то есть при \(\sin\alpha \ne 0\): если \(\cos\alpha = -1\), то \(\sin\alpha = 0\). При этом условии дробь можно сократить на \(2\sin\alpha\); затем применим равенство \(\operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}\), верное при \(\cos\alpha \ne -1\): \[\begin{aligned} &\frac{2\sin\alpha - \sin 2\alpha}{2\sin\alpha + \sin 2\alpha} = \frac{2\sin\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha} = {} \\ &= \frac{2\sin\alpha(1 - \cos\alpha)}{2\sin\alpha(1 + \cos\alpha)} = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha} = \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}\]
Ответ: тождества доказаны: 1), 2) при любом \(\alpha\); 3) при \(\sin 2\alpha \ne 0\), \(\cos 2\alpha \ne 0\), \(\cos 4\alpha \ne 0\); 4) при \(\sin\alpha \ne 0\).
