Страница 192 номер 26.24, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Дано: \(\sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(135^\circ < \alpha < 180^\circ\). Найдите \(\sin \alpha\).
Так как \(135^\circ < \alpha < 180^\circ\), то \(270^\circ < 2\alpha < 360^\circ\): угол \(2\alpha\) лежит в IV четверти, поэтому \(\cos 2\alpha > 0\).
\(\cos^2 2\alpha = 1 - \sin^2 2\alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\), следовательно, \(\cos 2\alpha = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\).
\[\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}.\] Угол \(\alpha\) лежит во II четверти, поэтому \(\sin\alpha > 0\), следовательно, \(\sin\alpha = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\).
Ответ: \(\sin\alpha = \frac{1}{2}\).
Дано: \(\sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(135^\circ < \alpha < 180^\circ\). Найдите \(\sin \alpha\).
Так как \(135^\circ < \alpha < 180^\circ\), то \(270^\circ < 2\alpha < 360^\circ\): угол \(2\alpha\) лежит в IV четверти, поэтому \(\cos 2\alpha > 0\). Имеем: \(\cos^2 2\alpha = 1 - \sin^2 2\alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\), следовательно, \(\cos 2\alpha = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\).
По формуле понижения степени: \[\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}.\] Угол \(\alpha\) лежит во II четверти, поэтому \(\sin\alpha > 0\), следовательно, \(\sin\alpha = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\).
Ответ: \(\sin\alpha = \frac{1}{2}\).
