Страница 192 номер 26.31, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

1) Выделим квадрат разности: \(-6\sin^2\alpha\cos^2\alpha = -2\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha\) и \(\cos^4\alpha - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)^2\). Затем применим формулы косинуса и синуса двойного аргумента и ещё раз формулу косинуса двойного аргумента: \[\begin{aligned} &\cos^4\alpha - 6\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \sin^4\alpha = {} \\ &= (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)^2 - (2\sin\alpha\cos\alpha)^2 = {} \\ &= \cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha = \cos 4\alpha. \end{aligned}\]

2) Выражение имеет смысл при \(\cos 2\alpha \ne 0\), иначе \(\operatorname{tg} 2\alpha\) не определён; при этом определён и \(\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right)\), так как \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right) = \cos 2\alpha\). По формуле приведения \(\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right) = -\operatorname{tg} 2\alpha\), поэтому знаменатель равен \(1 + \operatorname{tg}^2 2\alpha = \frac{1}{\cos^2 2\alpha}\). Затем применим формулы косинуса и синуса двойного аргумента: \[\begin{aligned} &\frac{2\sin 4\alpha(1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha)}{1 + \operatorname{ctg}^2\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right)} = \frac{2\sin 4\alpha(1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha)}{1 + \operatorname{tg}^2 2\alpha} = {} \\ &= 2\sin 4\alpha(1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha)\cos^2 2\alpha = 2\sin 4\alpha(\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha) = {} \\ &= 2\sin 4\alpha\cos 4\alpha = \sin 8\alpha. \end{aligned}\]

3) По формуле синуса двойного аргумента \(\sin^2 2\alpha = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha\), а по основному тригонометрическому тождеству \(4 - 4\sin^2\alpha = 4\cos^2\alpha\) и \(1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha\): \[\begin{aligned} &\frac{\sin^2 2\alpha + 4\sin^4\alpha - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{4 - \sin^2 2\alpha - 4\sin^2\alpha} = {} \\ &= \frac{4\sin^2\alpha\cos^2\alpha + 4\sin^4\alpha - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{4\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = {} \\ &= \frac{4\sin^4\alpha}{4\cos^2\alpha(1 - \sin^2\alpha)} = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha} = \operatorname{tg}^4\alpha. \end{aligned}\] Здесь \(\cos\alpha \ne 0\): знаменатель исходной дроби равен \(4\cos^4\alpha\) и не равен нулю.

4) По формуле \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\) числитель равен \(2\sin^2 4\alpha - 1 = -\cos 8\alpha\). По формуле приведения \(\cos\left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right) = \cos\left(\pi + \left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)\), а так как сумма аргументов \(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\) и \(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\) равна \(\frac{\pi}{2}\), то \(\cos\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right)\). Значит, \(\cos^2\left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right) = \sin^2\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right)\). Выражение имеет смысл при \(\sin\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right) \ne 0\) (иначе \(\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right)\) не определён) и при ненулевом знаменателе. Применим формулу синуса двойного аргумента к углу \(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\) и формулу приведения: \[\begin{aligned} &\frac{2\sin^2 4\alpha - 1}{2\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right)\cos^2\left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right)} = {} \\ &= \frac{-\cos 8\alpha}{2 \cdot \frac{\cos\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right)} \cdot \sin^2\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right)} = \frac{-\cos 8\alpha}{2\sin\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right)} = {} \\ &= \frac{-\cos 8\alpha}{\sin\left(\frac{\pi}{2} + 8\alpha\right)} = \frac{-\cos 8\alpha}{\cos 8\alpha} = -1. \end{aligned}\] Здесь \(\cos 8\alpha \ne 0\): знаменатель исходной дроби равен \(\cos 8\alpha\) и не равен нулю.

Ответ: 1) \(\cos 4\alpha\); 2) \(\sin 8\alpha\); 3) \(\operatorname{tg}^4\alpha\); 4) \(-1\).