Страница 193 номер 26.35, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

1) Дополним сумму четвёртых степеней до квадрата суммы, применим основное тригонометрическое тождество, формулу синуса двойного аргумента (\(2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = \frac{1}{2}(2\sin\alpha\cos\alpha)^2 = \frac{1}{2}\sin^2 2\alpha\)) и формулу понижения степени \(\sin^2 2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{2}\): \[\begin{aligned} &\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = {} \\ &= 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\alpha = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos 4\alpha}{2} = \frac{4 - 1 + \cos 4\alpha}{4} = \frac{3 + \cos 4\alpha}{4}. \end{aligned}\]

2) Дополним сумму восьмых степеней до квадрата суммы четвёртых степеней, применим найденное в пункте 1) выражение, формулу синуса двойного аргумента (\(2\sin^4\alpha\cos^4\alpha = \frac{(2\sin\alpha\cos\alpha)^4}{8} = \frac{\sin^4 2\alpha}{8}\)) и формулу понижения степени \(\sin^2 2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{2}\): \[\begin{aligned} &\sin^8\alpha + \cos^8\alpha = (\sin^4\alpha + \cos^4\alpha)^2 - 2\sin^4\alpha\cos^4\alpha = {} \\ &= \left(\frac{3 + \cos 4\alpha}{4}\right)^2 - \frac{\sin^4 2\alpha}{8} = \frac{(3 + \cos 4\alpha)^2}{16} - \frac{1}{8}\left(\frac{1 - \cos 4\alpha}{2}\right)^2 = {} \\ &= \frac{2(3 + \cos 4\alpha)^2 - (1 - \cos 4\alpha)^2}{32} = {} \\ &= \frac{18 + 12\cos 4\alpha + 2\cos^2 4\alpha - 1 + 2\cos 4\alpha - \cos^2 4\alpha}{32} = {} \\ &= \frac{17 + 14\cos 4\alpha + \cos^2 4\alpha}{32}. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = \frac{3 + \cos 4\alpha}{4}\); 2) \(\sin^8\alpha + \cos^8\alpha = \frac{17 + 14\cos 4\alpha + \cos^2 4\alpha}{32}\).