Страница 192 номер 26.22, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите тождество: 1) \(\frac{\cos^3 \alpha - \cos 3\alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin^3 \alpha + \sin 3\alpha}{\sin \alpha} = 3\); 2) \(\frac{\sin^3 \alpha + \sin 3\alpha}{\cos^3 \alpha - \cos 3\alpha} = \operatorname{ctg} \alpha\).
\(\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha\), \(\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha\), поэтому \[\begin{aligned} \cos^3\alpha - \cos 3\alpha &= 3\cos\alpha - 3\cos^3\alpha = 3\cos\alpha\sin^2\alpha; \\ \sin^3\alpha + \sin 3\alpha &= 3\sin\alpha - 3\sin^3\alpha = 3\sin\alpha\cos^2\alpha. \end{aligned}\]
1) Левая часть имеет смысл при \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\sin\alpha \ne 0\); при этих условиях дроби можно сократить на \(\cos\alpha\) и на \(\sin\alpha\): \[\begin{aligned} &\frac{\cos^3\alpha - \cos 3\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin^3\alpha + \sin 3\alpha}{\sin\alpha} = \frac{3\cos\alpha\sin^2\alpha}{\cos\alpha} + \frac{3\sin\alpha\cos^2\alpha}{\sin\alpha} = {} \\ &= 3\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha = 3. \end{aligned}\]
2) Знаменатель левой части равен \(3\cos\alpha\sin^2\alpha\), поэтому левая часть имеет смысл при \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\sin\alpha \ne 0\); при этих условиях дробь можно сократить на \(3\sin\alpha\cos\alpha\): \[\frac{\sin^3\alpha + \sin 3\alpha}{\cos^3\alpha - \cos 3\alpha} = \frac{3\sin\alpha\cos^2\alpha}{3\cos\alpha\sin^2\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \operatorname{ctg}\alpha.\]
Ответ: тождества доказаны (при \(\sin\alpha \ne 0\), \(\cos\alpha \ne 0\)).
Докажите тождество: 1) \(\frac{\cos^3 \alpha - \cos 3\alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin^3 \alpha + \sin 3\alpha}{\sin \alpha} = 3\); 2) \(\frac{\sin^3 \alpha + \sin 3\alpha}{\cos^3 \alpha - \cos 3\alpha} = \operatorname{ctg} \alpha\).
По формулам косинуса и синуса тройного аргумента \(\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha\), \(\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha\) и основному тригонометрическому тождеству: \[\begin{aligned} \cos^3\alpha - \cos 3\alpha &= 3\cos\alpha - 3\cos^3\alpha = 3\cos\alpha\sin^2\alpha; \\ \sin^3\alpha + \sin 3\alpha &= 3\sin\alpha - 3\sin^3\alpha = 3\sin\alpha\cos^2\alpha. \end{aligned}\]
1) Левая часть имеет смысл при \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\sin\alpha \ne 0\); при этих условиях дроби можно сократить на \(\cos\alpha\) и на \(\sin\alpha\): \[\begin{aligned} &\frac{\cos^3\alpha - \cos 3\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin^3\alpha + \sin 3\alpha}{\sin\alpha} = \frac{3\cos\alpha\sin^2\alpha}{\cos\alpha} + \frac{3\sin\alpha\cos^2\alpha}{\sin\alpha} = {} \\ &= 3\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha = 3. \end{aligned}\]
2) Знаменатель левой части равен \(3\cos\alpha\sin^2\alpha\), поэтому левая часть имеет смысл при \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\sin\alpha \ne 0\); при этих условиях дробь можно сократить на \(3\sin\alpha\cos\alpha\): \[\frac{\sin^3\alpha + \sin 3\alpha}{\cos^3\alpha - \cos 3\alpha} = \frac{3\sin\alpha\cos^2\alpha}{3\cos\alpha\sin^2\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \operatorname{ctg}\alpha.\]
Ответ: тождества доказаны (при \(\sin\alpha \ne 0\), \(\cos\alpha \ne 0\)).
