Страница 192 номер 26.28, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите \(1 + 5\sin 2\alpha - \frac{3}{\cos 2\alpha}\), если \(\operatorname{tg} \alpha = -2\).
Так как \(\operatorname{tg}\alpha\) определён, то \(\cos\alpha \ne 0\): \[\begin{aligned} \sin 2\alpha &= \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2 \cdot (-2)}{1 + (-2)^2} = -\frac{4}{5}; \\ \cos 2\alpha &= \frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{1 - (-2)^2}{1 + (-2)^2} = -\frac{3}{5}. \end{aligned}\] Тогда \[1 + 5\sin 2\alpha - \frac{3}{\cos 2\alpha} = 1 + 5 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) - 3 : \left(-\frac{3}{5}\right) = 1 - 4 + 5 = 2.\]
Ответ: \(2\).
Вычислите \(1 + 5\sin 2\alpha - \frac{3}{\cos 2\alpha}\), если \(\operatorname{tg} \alpha = -2\).
Так как \(\operatorname{tg}\alpha\) определён, то \(\cos\alpha \ne 0\), и по формулам, выражающим синус и косинус через тангенс половинного аргумента: \[\begin{aligned} \sin 2\alpha &= \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2 \cdot (-2)}{1 + (-2)^2} = -\frac{4}{5}; \\ \cos 2\alpha &= \frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{1 - (-2)^2}{1 + (-2)^2} = -\frac{3}{5}. \end{aligned}\] Подставим найденные значения в выражение: \[1 + 5\sin 2\alpha - \frac{3}{\cos 2\alpha} = 1 + 5 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) - 3 : \left(-\frac{3}{5}\right) = 1 - 4 + 5 = 2.\]
Ответ: \(2\).
