Страница 194 номер 26.43, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите тождество \(\sin 3\alpha \sin^3 \alpha + \cos 3\alpha \cos^3 \alpha = \cos^3 2\alpha\).
Из \(\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha\) и \(\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha\) получаем \(\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\alpha}{4}\) и \(\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\alpha}{4}\): \[\begin{aligned} &\sin 3\alpha\sin^3\alpha + \cos 3\alpha\cos^3\alpha = {} \\ &= \frac{(3\sin\alpha - \sin 3\alpha)\sin 3\alpha + (3\cos\alpha + \cos 3\alpha)\cos 3\alpha}{4} = {} \\ &= \frac{3(\cos 3\alpha\cos\alpha + \sin 3\alpha\sin\alpha) + \cos^2 3\alpha - \sin^2 3\alpha}{4} = {} \\ &= \frac{3\cos 2\alpha + \cos 6\alpha}{4} = \frac{3\cos 2\alpha + 4\cos^3 2\alpha - 3\cos 2\alpha}{4} = \cos^3 2\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: тождество доказано.
Докажите тождество \(\sin 3\alpha \sin^3 \alpha + \cos 3\alpha \cos^3 \alpha = \cos^3 2\alpha\).
Из формул синуса и косинуса тройного аргумента \(\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha\) и \(\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha\) получаем \(\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\alpha}{4}\) и \(\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\alpha}{4}\). Подставим эти выражения в левую часть, затем применим формулу косинуса разности, формулу косинуса двойного аргумента и формулу косинуса тройного аргумента для угла \(2\alpha\): \(\cos 6\alpha = 4\cos^3 2\alpha - 3\cos 2\alpha\). \[\begin{aligned} &\sin 3\alpha\sin^3\alpha + \cos 3\alpha\cos^3\alpha = {} \\ &= \frac{(3\sin\alpha - \sin 3\alpha)\sin 3\alpha + (3\cos\alpha + \cos 3\alpha)\cos 3\alpha}{4} = {} \\ &= \frac{3(\cos 3\alpha\cos\alpha + \sin 3\alpha\sin\alpha) + \cos^2 3\alpha - \sin^2 3\alpha}{4} = {} \\ &= \frac{3\cos 2\alpha + \cos 6\alpha}{4} = \frac{3\cos 2\alpha + 4\cos^3 2\alpha - 3\cos 2\alpha}{4} = \cos^3 2\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: тождество доказано.
