Страница 191 номер 26.16, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Упростите выражение: 1) \(\frac{1}{\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} - \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}\); 2) \((\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha) \sin 2\alpha\); 3) \(\frac{4\operatorname{tg} \alpha (1 - \operatorname{tg}^2 \alpha)}{(1 + \operatorname{tg}^2 \alpha)^2}\); 4) \(\frac{\operatorname{tg} 2\alpha \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{tg} \alpha}\); 5) \(\frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha + \cos^2 \alpha}{2(1 - \cos \alpha)}\); 6) \(2\cos \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right)\).
1) Выражение имеет смысл при \(\sin\frac{\alpha}{2} \ne 0\) и \(\cos\frac{\alpha}{2} \ne 0\) (иначе не определён \(\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}\) или \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\)) и при ненулевом знаменателе. Умножим числитель и знаменатель на \(\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\): \[\frac{1}{\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2} - \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{1}{2}\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1}{2}\operatorname{tg}\alpha.\]
2) Выражение имеет смысл при \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\sin\alpha \ne 0\), иначе не определён \(\operatorname{tg}\alpha\) или \(\operatorname{ctg}\alpha\). \[\begin{aligned} &(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha)\sin 2\alpha = \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right) \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha = {} \\ &= 2\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha = 2. \end{aligned}\]
3) Выражение имеет смысл при \(\cos\alpha \ne 0\), иначе \(\operatorname{tg}\alpha\) не определён. При этом условии \(\sin 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\) и \(\cos 2\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\): \[\begin{aligned} &\frac{4\operatorname{tg}\alpha(1 - \operatorname{tg}^2\alpha)}{(1 + \operatorname{tg}^2\alpha)^2} = 2 \cdot \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} \cdot \frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = {} \\ &= 2\sin 2\alpha\cos 2\alpha = \sin 4\alpha. \end{aligned}\]
4) Выражение имеет смысл при \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\cos 2\alpha \ne 0\) (иначе не определён \(\operatorname{tg}\alpha\) или \(\operatorname{tg} 2\alpha\)) и при \(\operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{tg}\alpha \ne 0\). Умножим числитель и знаменатель на \(\cos 2\alpha\cos\alpha\): знаменатель станет равным \(\sin(2\alpha - \alpha) = \sin\alpha\). Он не равен нулю, так как \(\operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{tg}\alpha \ne 0\), поэтому на него можно сократить: \[\begin{aligned} &\frac{\operatorname{tg} 2\alpha\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{tg}\alpha} = \frac{\sin 2\alpha\sin\alpha}{\sin 2\alpha\cos\alpha - \cos 2\alpha\sin\alpha} = {} \\ &= \frac{\sin 2\alpha\sin\alpha}{\sin(2\alpha - \alpha)} = \frac{\sin 2\alpha\sin\alpha}{\sin\alpha} = \sin 2\alpha. \end{aligned}\]
5) Выражение имеет смысл при \(\cos\alpha \ne 1\); при этом условии дробь можно сократить на \(1 - \cos\alpha\).
\(\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha\). \[\begin{aligned} &\frac{\sin^4\alpha - \cos^4\alpha + \cos^2\alpha}{2(1 - \cos\alpha)} = \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \cos^2\alpha}{2(1 - \cos\alpha)} = {} \\ &= \frac{\sin^2\alpha}{2(1 - \cos\alpha)} = \frac{(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)}{2(1 - \cos\alpha)} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} = \cos^2\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}\]
6) Сумма аргументов \(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\) и \(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\) равна \(\frac{\pi}{2}\), поэтому \(\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)\). \[\begin{aligned} &2\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = {} \\ &= \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\frac{1}{2}\operatorname{tg}\alpha\); 2) \(2\); 3) \(\sin 4\alpha\); 4) \(\sin 2\alpha\); 5) \(\cos^2\frac{\alpha}{2}\); 6) \(\cos\alpha\).
Упростите выражение: 1) \(\frac{1}{\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} - \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}\); 2) \((\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha) \sin 2\alpha\); 3) \(\frac{4\operatorname{tg} \alpha (1 - \operatorname{tg}^2 \alpha)}{(1 + \operatorname{tg}^2 \alpha)^2}\); 4) \(\frac{\operatorname{tg} 2\alpha \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{tg} \alpha}\); 5) \(\frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha + \cos^2 \alpha}{2(1 - \cos \alpha)}\); 6) \(2\cos \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right)\).
1) Выражение имеет смысл при \(\sin\frac{\alpha}{2} \ne 0\) и \(\cos\frac{\alpha}{2} \ne 0\) (иначе не определён \(\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}\) или \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\)) и при ненулевом знаменателе. Умножим числитель и знаменатель дроби на \(\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\) и применим формулы синуса и косинуса двойного аргумента: \[\frac{1}{\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2} - \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{1}{2}\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1}{2}\operatorname{tg}\alpha.\]
2) Выражение имеет смысл при \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\sin\alpha \ne 0\), иначе не определён \(\operatorname{tg}\alpha\) или \(\operatorname{ctg}\alpha\). По формуле синуса двойного аргумента: \[\begin{aligned} &(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha)\sin 2\alpha = \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right) \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha = {} \\ &= 2\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha = 2. \end{aligned}\]
3) Выражение имеет смысл при \(\cos\alpha \ne 0\), иначе \(\operatorname{tg}\alpha\) не определён. При этом условии по формулам, выражающим синус и косинус через тангенс половинного аргумента, \(\sin 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\) и \(\cos 2\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\). Применим эти равенства и формулу синуса двойного аргумента: \[\begin{aligned} &\frac{4\operatorname{tg}\alpha(1 - \operatorname{tg}^2\alpha)}{(1 + \operatorname{tg}^2\alpha)^2} = 2 \cdot \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} \cdot \frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = {} \\ &= 2\sin 2\alpha\cos 2\alpha = \sin 4\alpha. \end{aligned}\]
4) Выражение имеет смысл при \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\cos 2\alpha \ne 0\) (иначе не определён \(\operatorname{tg}\alpha\) или \(\operatorname{tg} 2\alpha\)) и при \(\operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{tg}\alpha \ne 0\). Умножим числитель и знаменатель дроби на \(\cos 2\alpha\cos\alpha\) и применим формулу синуса разности: знаменатель станет равным \(\sin(2\alpha - \alpha) = \sin\alpha\). Он не равен нулю, так как \(\operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{tg}\alpha \ne 0\), поэтому на него можно сократить: \[\begin{aligned} &\frac{\operatorname{tg} 2\alpha\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{tg}\alpha} = \frac{\sin 2\alpha\sin\alpha}{\sin 2\alpha\cos\alpha - \cos 2\alpha\sin\alpha} = {} \\ &= \frac{\sin 2\alpha\sin\alpha}{\sin(2\alpha - \alpha)} = \frac{\sin 2\alpha\sin\alpha}{\sin\alpha} = \sin 2\alpha. \end{aligned}\]
5) Выражение имеет смысл при \(\cos\alpha \ne 1\); при этом условии дробь можно сократить на \(1 - \cos\alpha\). По формуле разности квадратов и основному тригонометрическому тождеству \(\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha\); в конце применим формулу понижения степени \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\) при \(x = \frac{\alpha}{2}\): \[\begin{aligned} &\frac{\sin^4\alpha - \cos^4\alpha + \cos^2\alpha}{2(1 - \cos\alpha)} = \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \cos^2\alpha}{2(1 - \cos\alpha)} = {} \\ &= \frac{\sin^2\alpha}{2(1 - \cos\alpha)} = \frac{(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)}{2(1 - \cos\alpha)} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} = \cos^2\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}\]
6) Сумма аргументов \(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\) и \(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\) равна \(\frac{\pi}{2}\), поэтому по формуле приведения \(\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)\). Применим это равенство, формулу синуса двойного аргумента и формулу приведения: \[\begin{aligned} &2\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = {} \\ &= \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\frac{1}{2}\operatorname{tg}\alpha\); 2) \(2\); 3) \(\sin 4\alpha\); 4) \(\sin 2\alpha\); 5) \(\cos^2\frac{\alpha}{2}\); 6) \(\cos\alpha\).
