Страница 192 номер 26.25, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Дано: \(\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(90^\circ < \frac{\alpha}{2} < 135^\circ\). Найдите \(\cos \frac{\alpha}{2}\).
Так как \(90^\circ < \frac{\alpha}{2} < 135^\circ\), то \(180^\circ < \alpha < 270^\circ\): угол \(\alpha\) лежит в III четверти, поэтому \(\cos\alpha < 0\).
\(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\), следовательно, \(\cos\alpha = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}\).
Угол \(\frac{\alpha}{2}\) лежит во II четверти, поэтому \(\cos\frac{\alpha}{2} < 0\): \[\cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{1}{2}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}.\]
Ответ: \(\cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{2}\).
Дано: \(\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(90^\circ < \frac{\alpha}{2} < 135^\circ\). Найдите \(\cos \frac{\alpha}{2}\).
Так как \(90^\circ < \frac{\alpha}{2} < 135^\circ\), то \(180^\circ < \alpha < 270^\circ\): угол \(\alpha\) лежит в III четверти, поэтому \(\cos\alpha < 0\). Имеем: \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\), следовательно, \(\cos\alpha = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}\).
Угол \(\frac{\alpha}{2}\) лежит во II четверти, поэтому \(\cos\frac{\alpha}{2} < 0\), и по формуле косинуса половинного угла: \[\cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{1}{2}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}.\]
Ответ: \(\cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{2}\).
