Страница 190 номер 26.7, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Представьте в виде произведения выражение: 1) \(1 - \cos 4\alpha\); 2) \(1 + \cos \frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha}\); 3) \(1 - \cos 50^\circ\); 4) \(1 + \sin 2\alpha\).
1) \[1 - \cos 4\alpha = 2\sin^2 2\alpha.\]
2) В пункте 2) после \(1 + \cos\) напечатана сумма дробей \(\frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha}\); представим в виде произведения это выражение, считая сумму дробей аргументом косинуса, и выражение \(1 + \cos 6\alpha\), которое, по-видимому, имелось в виду.
Сумма дробей имеет смысл при \(\sin 2\alpha \ne 0\) и \(\cos 2\alpha \ne 0\), то есть при \(\sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha\cos 2\alpha \ne 0\), или \(\alpha \ne \frac{\pi k}{4}\), \(k \in \mathbf{Z}\). \[\begin{aligned} &\frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\cos 6\alpha\cos 2\alpha + \sin 6\alpha\sin 2\alpha}{\sin 2\alpha\cos 2\alpha} = {} \\ &= \frac{\cos(6\alpha - 2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin 4\alpha} = \frac{2\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} = 2\operatorname{ctg} 4\alpha. \end{aligned}\] Тогда по формуле \(1 + \cos 2x = 2\cos^2 x\) при \(x = \operatorname{ctg} 4\alpha\): \[1 + \cos\left(\frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha}\right) = 1 + \cos(2\operatorname{ctg} 4\alpha) = 2\cos^2(\operatorname{ctg} 4\alpha).\] Выражение \(1 + \cos 6\alpha\) — по той же формуле при \(x = 3\alpha\): \[1 + \cos 6\alpha = 2\cos^2 3\alpha.\]
3) \[1 - \cos 50^\circ = 2\sin^2 25^\circ.\]
4) \[1 + \sin 2\alpha = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right).\]
Ответ: 1) \(2\sin^2 2\alpha\); 2) \(2\cos^2(\operatorname{ctg} 4\alpha)\); \(1 + \cos 6\alpha = 2\cos^2 3\alpha\); 3) \(2\sin^2 25^\circ\); 4) \(2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\).
Представьте в виде произведения выражение: 1) \(1 - \cos 4\alpha\); 2) \(1 + \cos \frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha}\); 3) \(1 - \cos 50^\circ\); 4) \(1 + \sin 2\alpha\).
Применим формулы \(1 - \cos 2x = 2\sin^2 x\) и \(1 + \cos 2x = 2\cos^2 x\), которые следуют из формул косинуса двойного аргумента.
1) \[1 - \cos 4\alpha = 2\sin^2 2\alpha.\]
2) В пункте 2) после \(1 + \cos\) напечатана сумма дробей \(\frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha}\); представим в виде произведения это выражение, считая сумму дробей аргументом косинуса, и выражение \(1 + \cos 6\alpha\), которое, по-видимому, имелось в виду.
Сумма дробей имеет смысл при \(\sin 2\alpha \ne 0\) и \(\cos 2\alpha \ne 0\), то есть при \(\sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha\cos 2\alpha \ne 0\), или \(\alpha \ne \frac{\pi k}{4}\), \(k \in \mathbf{Z}\). Приведём дроби к общему знаменателю и применим формулу косинуса разности и формулу синуса двойного аргумента: \[\begin{aligned} &\frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\cos 6\alpha\cos 2\alpha + \sin 6\alpha\sin 2\alpha}{\sin 2\alpha\cos 2\alpha} = {} \\ &= \frac{\cos(6\alpha - 2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin 4\alpha} = \frac{2\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} = 2\operatorname{ctg} 4\alpha. \end{aligned}\] Тогда по формуле \(1 + \cos 2x = 2\cos^2 x\) при \(x = \operatorname{ctg} 4\alpha\): \[1 + \cos\left(\frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha}\right) = 1 + \cos(2\operatorname{ctg} 4\alpha) = 2\cos^2(\operatorname{ctg} 4\alpha).\] Выражение \(1 + \cos 6\alpha\) — по той же формуле при \(x = 3\alpha\): \[1 + \cos 6\alpha = 2\cos^2 3\alpha.\]
3) \[1 - \cos 50^\circ = 2\sin^2 25^\circ.\]
4) С помощью формулы приведения заменим синус на косинус: \[1 + \sin 2\alpha = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right).\]
Ответ: 1) \(2\sin^2 2\alpha\); 2) \(2\cos^2(\operatorname{ctg} 4\alpha)\); \(1 + \cos 6\alpha = 2\cos^2 3\alpha\); 3) \(2\sin^2 25^\circ\); 4) \(2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\).
