Страница 191 номер 26.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Найдите \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\), \(\operatorname{tg} \alpha\), если \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = 5\).
Так как \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\) определён, то \(\cos\frac{\alpha}{2} \ne 0\): \[\begin{aligned} \sin\alpha &= \frac{2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{2 \cdot 5}{1 + 5^2} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}; \\ \cos\alpha &= \frac{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - 5^2}{1 + 5^2} = -\frac{24}{26} = -\frac{12}{13}. \end{aligned}\] Тогда \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5}{13} : \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{5}{12}\).
Ответ: \(\sin\alpha = \frac{5}{13}\), \(\cos\alpha = -\frac{12}{13}\), \(\operatorname{tg}\alpha = -\frac{5}{12}\).
Найдите \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\), \(\operatorname{tg} \alpha\), если \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = 5\).
Так как \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\) определён, то \(\cos\frac{\alpha}{2} \ne 0\), и \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) можно выразить через \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\): \[\begin{aligned} \sin\alpha &= \frac{2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{2 \cdot 5}{1 + 5^2} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}; \\ \cos\alpha &= \frac{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - 5^2}{1 + 5^2} = -\frac{24}{26} = -\frac{12}{13}. \end{aligned}\] Тогда \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5}{13} : \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{5}{12}\).
Ответ: \(\sin\alpha = \frac{5}{13}\), \(\cos\alpha = -\frac{12}{13}\), \(\operatorname{tg}\alpha = -\frac{5}{12}\).
