Страница 191 номер 26.10, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Упростите выражение: 1) \(2\sin^2 (135^\circ - \alpha) - \sin 2\alpha\); 2) \(2 - 13\cos 2\alpha + \frac{1}{\sin 2\alpha}\).
1) Учтём, что \(\cos(270^\circ - x) = -\sin x\): \[\begin{aligned} &2\sin^2(135^\circ - \alpha) - \sin 2\alpha = 1 - \cos(270^\circ - 2\alpha) - \sin 2\alpha = {} \\ &= 1 + \sin 2\alpha - \sin 2\alpha = 1. \end{aligned}\]
2) Напечатанное в пункте 2) выражение \(2 - 13\cos 2\alpha + \frac{1}{\sin 2\alpha}\) к одной тригонометрической функции не сводится; по-видимому, имелось в виду выражение \(\frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha}\) — упростим оба.
Напечатанное выражение имеет смысл при \(\sin 2\alpha \ne 0\). \[2 - 13\cos 2\alpha + \frac{1}{\sin 2\alpha} = \frac{2\sin 2\alpha - 13\sin 2\alpha\cos 2\alpha + 1}{\sin 2\alpha}.\] Проще это выражение не становится.
Выражение \(\frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha}\) имеет смысл при \(\sin 2\alpha \ne 0\) и \(\cos 2\alpha \ne 0\), то есть при \(\sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha\cos 2\alpha \ne 0\), или \(\alpha \ne \frac{\pi k}{4}\), \(k \in \mathbf{Z}\). \[\begin{aligned} &\frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\cos 6\alpha\cos 2\alpha + \sin 6\alpha\sin 2\alpha}{\sin 2\alpha\cos 2\alpha} = {} \\ &= \frac{\cos(6\alpha - 2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin 4\alpha} = \frac{2\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} = 2\operatorname{ctg} 4\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(1\); 2) напечатанное выражение проще не становится; \(\frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha} = 2\operatorname{ctg} 4\alpha\).
Упростите выражение: 1) \(2\sin^2 (135^\circ - \alpha) - \sin 2\alpha\); 2) \(2 - 13\cos 2\alpha + \frac{1}{\sin 2\alpha}\).
1) По формуле \(2\sin^2 x = 1 - \cos 2x\) и формуле приведения \(\cos(270^\circ - x) = -\sin x\): \[\begin{aligned} &2\sin^2(135^\circ - \alpha) - \sin 2\alpha = 1 - \cos(270^\circ - 2\alpha) - \sin 2\alpha = {} \\ &= 1 + \sin 2\alpha - \sin 2\alpha = 1. \end{aligned}\]
2) Напечатанное в пункте 2) выражение \(2 - 13\cos 2\alpha + \frac{1}{\sin 2\alpha}\) к одной тригонометрической функции не сводится; по-видимому, имелось в виду выражение \(\frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha}\) — упростим оба.
Напечатанное выражение имеет смысл при \(\sin 2\alpha \ne 0\); приведём его к общему знаменателю: \[2 - 13\cos 2\alpha + \frac{1}{\sin 2\alpha} = \frac{2\sin 2\alpha - 13\sin 2\alpha\cos 2\alpha + 1}{\sin 2\alpha}.\] Проще это выражение не становится.
Выражение \(\frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha}\) имеет смысл при \(\sin 2\alpha \ne 0\) и \(\cos 2\alpha \ne 0\), то есть при \(\sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha\cos 2\alpha \ne 0\), или \(\alpha \ne \frac{\pi k}{4}\), \(k \in \mathbf{Z}\). Приведём дроби к общему знаменателю и применим формулу косинуса разности и формулу синуса двойного аргумента: \[\begin{aligned} &\frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\cos 6\alpha\cos 2\alpha + \sin 6\alpha\sin 2\alpha}{\sin 2\alpha\cos 2\alpha} = {} \\ &= \frac{\cos(6\alpha - 2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin 4\alpha} = \frac{2\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} = 2\operatorname{ctg} 4\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(1\); 2) напечатанное выражение проще не становится; \(\frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha} = 2\operatorname{ctg} 4\alpha\).
