Страница 192 номер 26.20, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что \(\operatorname{tg} 15^\circ + \operatorname{ctg} 15^\circ = 4\).
\[\begin{aligned} &\operatorname{tg} 15^\circ + \operatorname{ctg} 15^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} + \frac{\cos 15^\circ}{\sin 15^\circ} = \frac{\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ}{\sin 15^\circ\cos 15^\circ} = {} \\ &= \frac{2}{2\sin 15^\circ\cos 15^\circ} = \frac{2}{\sin 30^\circ} = 2 : \frac{1}{2} = 4. \end{aligned}\]
Ответ: \(\operatorname{tg} 15^\circ + \operatorname{ctg} 15^\circ = 4\).
Докажите, что \(\operatorname{tg} 15^\circ + \operatorname{ctg} 15^\circ = 4\).
Запишем тангенс и котангенс через синус и косинус и применим основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного аргумента: \[\begin{aligned} &\operatorname{tg} 15^\circ + \operatorname{ctg} 15^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} + \frac{\cos 15^\circ}{\sin 15^\circ} = \frac{\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ}{\sin 15^\circ\cos 15^\circ} = {} \\ &= \frac{2}{2\sin 15^\circ\cos 15^\circ} = \frac{2}{\sin 30^\circ} = 2 : \frac{1}{2} = 4. \end{aligned}\]
Ответ: \(\operatorname{tg} 15^\circ + \operatorname{ctg} 15^\circ = 4\).
