Страница 192 номер 26.26, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Дано: \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = 6\). Найдите \(\sin \alpha - \cos \alpha\).
Так как \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\) определён, то \(\cos\frac{\alpha}{2} \ne 0\): \[\begin{aligned} \sin\alpha &= \frac{2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{2 \cdot 6}{1 + 6^2} = \frac{12}{37}; \\ \cos\alpha &= \frac{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - 6^2}{1 + 6^2} = -\frac{35}{37}. \end{aligned}\] Тогда \(\sin\alpha - \cos\alpha = \frac{12}{37} - \left(-\frac{35}{37}\right) = \frac{12 + 35}{37} = \frac{47}{37}\).
Ответ: \(\sin\alpha - \cos\alpha = \frac{47}{37}\).
Дано: \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = 6\). Найдите \(\sin \alpha - \cos \alpha\).
Так как \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\) определён, то \(\cos\frac{\alpha}{2} \ne 0\), и \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) можно выразить через \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\): \[\begin{aligned} \sin\alpha &= \frac{2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{2 \cdot 6}{1 + 6^2} = \frac{12}{37}; \\ \cos\alpha &= \frac{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - 6^2}{1 + 6^2} = -\frac{35}{37}. \end{aligned}\] Тогда \(\sin\alpha - \cos\alpha = \frac{12}{37} - \left(-\frac{35}{37}\right) = \frac{12 + 35}{37} = \frac{47}{37}\).
Ответ: \(\sin\alpha - \cos\alpha = \frac{47}{37}\).
