Страница 184 номер 25.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Сумма положительных чисел \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) меньше \(\frac{\pi}{2}\). Докажите, что \(\operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{ctg}\beta + \operatorname{ctg}\gamma > \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\gamma\).
Каждое из чисел \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) положительно и меньше их суммы, а значит, меньше \(\frac{\pi}{2}\); поэтому все тангенсы и котангенсы в неравенстве определены.
Так как \(\gamma > 0\), то \(\alpha + \beta < \frac{\pi}{2} - \gamma < \frac{\pi}{2}\), откуда \(\alpha < \frac{\pi}{2} - \beta\). При этом \(\alpha > 0\) и \(\frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2}\), так как \(\beta > 0\); значит, \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2}\). Функция \(y = \operatorname{ctg} x\) убывает на промежутке \((0;\ \pi)\), а числа \(\alpha\) и \(\frac{\pi}{2} - \beta\) ему принадлежат, поэтому \(\operatorname{ctg}\alpha > \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = \operatorname{tg}\beta\).
Точно так же из \(\beta + \gamma < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2}\) получаем \(\operatorname{ctg}\beta > \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \gamma\right) = \operatorname{tg}\gamma\), а из \(\gamma + \alpha < \frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2}\) — \(\operatorname{ctg}\gamma > \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \operatorname{tg}\alpha\).
Сложив почленно три полученных неравенства, получим: \[\operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{ctg}\beta + \operatorname{ctg}\gamma > \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\gamma.\]
Ответ: если сумма положительных чисел \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) меньше \(\frac{\pi}{2}\), то \(\operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{ctg}\beta + \operatorname{ctg}\gamma > \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\gamma\).
Сумма положительных чисел \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) меньше \(\frac{\pi}{2}\). Докажите, что \(\operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{ctg}\beta + \operatorname{ctg}\gamma > \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\gamma\).
Каждое из чисел \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) положительно и меньше их суммы, а значит, меньше \(\frac{\pi}{2}\); поэтому все тангенсы и котангенсы в неравенстве определены.
Так как \(\gamma > 0\), то \(\alpha + \beta < \frac{\pi}{2} - \gamma < \frac{\pi}{2}\), откуда \(\alpha < \frac{\pi}{2} - \beta\). При этом \(\alpha > 0\) и \(\frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2}\), так как \(\beta > 0\); значит, \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2}\). Функция \(y = \operatorname{ctg} x\) убывает на промежутке \((0;\ \pi)\), а числа \(\alpha\) и \(\frac{\pi}{2} - \beta\) ему принадлежат, поэтому \(\operatorname{ctg}\alpha > \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\). По формуле приведения \(\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = \operatorname{tg}\beta\), значит, \(\operatorname{ctg}\alpha > \operatorname{tg}\beta\).
Точно так же из \(\beta + \gamma < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2}\) получаем \(\operatorname{ctg}\beta > \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \gamma\right) = \operatorname{tg}\gamma\), а из \(\gamma + \alpha < \frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2}\) — \(\operatorname{ctg}\gamma > \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \operatorname{tg}\alpha\).
Сложив почленно неравенства \(\operatorname{ctg}\alpha > \operatorname{tg}\beta\), \(\operatorname{ctg}\beta > \operatorname{tg}\gamma\) и \(\operatorname{ctg}\gamma > \operatorname{tg}\alpha\), получим: \[\operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{ctg}\beta + \operatorname{ctg}\gamma > \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\gamma.\]
Ответ: если сумма положительных чисел \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) меньше \(\frac{\pi}{2}\), то \(\operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{ctg}\beta + \operatorname{ctg}\gamma > \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\gamma\).
