Страница 191 номер 26.14, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Дано: \(\cos \alpha = \frac{3}{4}\), \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\). Найдите \(\sin \frac{\alpha}{2}\), \(\cos \frac{\alpha}{2}\) и \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}\).
Так как \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), то \(0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}\): угол \(\frac{\alpha}{2}\) лежит в I четверти, и \(\sin\frac{\alpha}{2}\), \(\cos\frac{\alpha}{2}\), \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\) положительны, поэтому знаки модуля в формулах половинного угла можно опустить: \[\begin{aligned} \sin\frac{\alpha}{2} &= \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}; \\ \cos\frac{\alpha}{2} &= \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}; \\ \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} &= \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{4}}{1 + \frac{3}{4}}} = \sqrt{\frac{1}{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}\), \(\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{14}}{4}\), \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{7}}{7}\).
Дано: \(\cos \alpha = \frac{3}{4}\), \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\). Найдите \(\sin \frac{\alpha}{2}\), \(\cos \frac{\alpha}{2}\) и \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}\).
Так как \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), то \(0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}\): угол \(\frac{\alpha}{2}\) лежит в I четверти, и \(\sin\frac{\alpha}{2}\), \(\cos\frac{\alpha}{2}\), \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\) положительны. Поэтому в формулах синуса, косинуса и тангенса половинного угла знаки модуля можно опустить: \[\begin{aligned} \sin\frac{\alpha}{2} &= \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}; \\ \cos\frac{\alpha}{2} &= \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}; \\ \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} &= \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{4}}{1 + \frac{3}{4}}} = \sqrt{\frac{1}{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}\), \(\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{14}}{4}\), \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{7}}{7}\).
