Страница 193 номер 26.34, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что: 1) \(\sin 54^\circ \cos 72^\circ = \frac{1}{4}\); 2) \(8\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} = -1\); 3) \(\cos 3\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha = \frac{\sin 24\alpha}{8\sin 3\alpha}\).
1) Умножим и разделим на \(\sin 36^\circ \ne 0\): \[\begin{aligned} &\sin 54^\circ\cos 72^\circ = \cos 36^\circ\cos 72^\circ = \frac{\sin 36^\circ\cos 36^\circ\cos 72^\circ}{\sin 36^\circ} = {} \\ &= \frac{\sin 72^\circ\cos 72^\circ}{2\sin 36^\circ} = \frac{\sin 144^\circ}{4\sin 36^\circ} = \frac{\sin 36^\circ}{4\sin 36^\circ} = \frac{1}{4}. \end{aligned}\]
2) Умножим и разделим левую часть на \(\sin\frac{\pi}{7} \ne 0\): \[\begin{aligned} &8\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} = \frac{8\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{4\sin\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{\sin\frac{\pi}{7}} = {} \\ &= \frac{2\sin\frac{4\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\frac{8\pi}{7}}{\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\left(\pi + \frac{\pi}{7}\right)}{\sin\frac{\pi}{7}} = {} \\ &= \frac{-\sin\frac{\pi}{7}}{\sin\frac{\pi}{7}} = -1. \end{aligned}\]
3) Правая часть имеет смысл при \(\sin 3\alpha \ne 0\). При этом условии умножим и разделим левую часть на \(\sin 3\alpha\): \[\begin{aligned} &\cos 3\alpha\cos 6\alpha\cos 12\alpha = \frac{\sin 3\alpha\cos 3\alpha\cos 6\alpha\cos 12\alpha}{\sin 3\alpha} = {} \\ &= \frac{\sin 6\alpha\cos 6\alpha\cos 12\alpha}{2\sin 3\alpha} = \frac{\sin 12\alpha\cos 12\alpha}{4\sin 3\alpha} = \frac{\sin 24\alpha}{8\sin 3\alpha}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\sin 54^\circ\cos 72^\circ = \frac{1}{4}\); 2) \(8\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} = -1\); 3) \(\cos 3\alpha\cos 6\alpha\cos 12\alpha = \frac{\sin 24\alpha}{8\sin 3\alpha}\) при \(\sin 3\alpha \ne 0\).
Докажите, что: 1) \(\sin 54^\circ \cos 72^\circ = \frac{1}{4}\); 2) \(8\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} = -1\); 3) \(\cos 3\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha = \frac{\sin 24\alpha}{8\sin 3\alpha}\).
1) По формуле приведения \(\sin 54^\circ = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos 36^\circ\). Умножим и разделим на \(\sin 36^\circ \ne 0\), дважды применим формулу синуса двойного аргумента, а затем формулу приведения \(\sin 144^\circ = \sin(180^\circ - 36^\circ) = \sin 36^\circ\): \[\begin{aligned} &\sin 54^\circ\cos 72^\circ = \cos 36^\circ\cos 72^\circ = \frac{\sin 36^\circ\cos 36^\circ\cos 72^\circ}{\sin 36^\circ} = {} \\ &= \frac{\sin 72^\circ\cos 72^\circ}{2\sin 36^\circ} = \frac{\sin 144^\circ}{4\sin 36^\circ} = \frac{\sin 36^\circ}{4\sin 36^\circ} = \frac{1}{4}. \end{aligned}\]
2) Умножим и разделим левую часть на \(\sin\frac{\pi}{7} \ne 0\), трижды применим формулу синуса двойного аргумента, а затем формулу приведения \(\sin\left(\pi + \frac{\pi}{7}\right) = -\sin\frac{\pi}{7}\): \[\begin{aligned} &8\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} = \frac{8\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{4\sin\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{\sin\frac{\pi}{7}} = {} \\ &= \frac{2\sin\frac{4\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\frac{8\pi}{7}}{\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\left(\pi + \frac{\pi}{7}\right)}{\sin\frac{\pi}{7}} = {} \\ &= \frac{-\sin\frac{\pi}{7}}{\sin\frac{\pi}{7}} = -1. \end{aligned}\]
3) Правая часть имеет смысл при \(\sin 3\alpha \ne 0\). При этом условии умножим и разделим левую часть на \(\sin 3\alpha\) и трижды применим формулу синуса двойного аргумента: \[\begin{aligned} &\cos 3\alpha\cos 6\alpha\cos 12\alpha = \frac{\sin 3\alpha\cos 3\alpha\cos 6\alpha\cos 12\alpha}{\sin 3\alpha} = {} \\ &= \frac{\sin 6\alpha\cos 6\alpha\cos 12\alpha}{2\sin 3\alpha} = \frac{\sin 12\alpha\cos 12\alpha}{4\sin 3\alpha} = \frac{\sin 24\alpha}{8\sin 3\alpha}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\sin 54^\circ\cos 72^\circ = \frac{1}{4}\); 2) \(8\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} = -1\); 3) \(\cos 3\alpha\cos 6\alpha\cos 12\alpha = \frac{\sin 24\alpha}{8\sin 3\alpha}\) при \(\sin 3\alpha \ne 0\).
