Страница 191 номер 26.17, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Упростите выражение: 1) \(\frac{2\cos 2\alpha}{\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha}\); 2) \(\left(\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}\right) \sin 2\alpha\); 3) \(\frac{\cos 2\alpha + 1 - \cos^2 \alpha}{\cos \left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right)}\).
1) Выражение имеет смысл при \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne 0\) (иначе не определён \(\operatorname{ctg}\alpha\) или \(\operatorname{tg}\alpha\)) и при ненулевом знаменателе \(\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\), то есть при \(\cos 2\alpha \ne 0\). Умножим числитель и знаменатель на \(\sin\alpha\cos\alpha\): \[\frac{2\cos 2\alpha}{\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha} = \frac{2\cos 2\alpha\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha} = \frac{\cos 2\alpha\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \sin 2\alpha.\]
2) Выражение имеет смысл, когда знаменатели \(1 + \sin\alpha\) и \(1 - \sin\alpha\) не равны нулю, то есть когда \((1 + \sin\alpha)(1 - \sin\alpha) = 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha \ne 0\); при этом условии на \(\cos\alpha\) можно сократить: \[\begin{aligned} &\left(\frac{\cos\alpha}{1 + \sin\alpha} + \frac{\cos\alpha}{1 - \sin\alpha}\right)\sin 2\alpha = \frac{\cos\alpha(1 - \sin\alpha) + \cos\alpha(1 + \sin\alpha)}{1 - \sin^2\alpha} \cdot \sin 2\alpha = {} \\ &= \frac{2\cos\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha = 4\sin\alpha. \end{aligned}\]
3) Знаменатель равен \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right) = -\sin 2\alpha = -2\sin\alpha\cos\alpha\), поэтому выражение имеет смысл при \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne 0\); при этом условии на \(\cos\alpha\) можно сократить: \[\begin{aligned} &\frac{\cos 2\alpha + 1 - \cos^2\alpha}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right)} = \frac{2\cos^2\alpha - 1 + 1 - \cos^2\alpha}{-\sin 2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{-2\sin\alpha\cos\alpha} = {} \\ &= -\frac{\cos\alpha}{2\sin\alpha} = -\frac{1}{2}\operatorname{ctg}\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\sin 2\alpha\); 2) \(4\sin\alpha\); 3) \(-\frac{1}{2}\operatorname{ctg}\alpha\).
Упростите выражение: 1) \(\frac{2\cos 2\alpha}{\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha}\); 2) \(\left(\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}\right) \sin 2\alpha\); 3) \(\frac{\cos 2\alpha + 1 - \cos^2 \alpha}{\cos \left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right)}\).
1) Выражение имеет смысл при \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne 0\) (иначе не определён \(\operatorname{ctg}\alpha\) или \(\operatorname{tg}\alpha\)) и при ненулевом знаменателе \(\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\), то есть при \(\cos 2\alpha \ne 0\). Умножим числитель и знаменатель дроби на \(\sin\alpha\cos\alpha\), применим формулы двойного аргумента и сократим дробь на \(\cos 2\alpha\): \[\frac{2\cos 2\alpha}{\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha} = \frac{2\cos 2\alpha\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha} = \frac{\cos 2\alpha\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \sin 2\alpha.\]
2) Выражение имеет смысл, когда знаменатели \(1 + \sin\alpha\) и \(1 - \sin\alpha\) не равны нулю, то есть когда \((1 + \sin\alpha)(1 - \sin\alpha) = 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha \ne 0\); при этом условии на \(\cos\alpha\) можно сократить. Приведём дроби к общему знаменателю и применим формулу синуса двойного аргумента: \[\begin{aligned} &\left(\frac{\cos\alpha}{1 + \sin\alpha} + \frac{\cos\alpha}{1 - \sin\alpha}\right)\sin 2\alpha = \frac{\cos\alpha(1 - \sin\alpha) + \cos\alpha(1 + \sin\alpha)}{1 - \sin^2\alpha} \cdot \sin 2\alpha = {} \\ &= \frac{2\cos\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha = 4\sin\alpha. \end{aligned}\]
3) По формуле приведения и формуле синуса двойного аргумента знаменатель равен \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right) = -\sin 2\alpha = -2\sin\alpha\cos\alpha\), поэтому выражение имеет смысл при \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne 0\); при этом условии на \(\cos\alpha\) можно сократить. Числитель преобразуем по формуле косинуса двойного аргумента \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\): \[\begin{aligned} &\frac{\cos 2\alpha + 1 - \cos^2\alpha}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right)} = \frac{2\cos^2\alpha - 1 + 1 - \cos^2\alpha}{-\sin 2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{-2\sin\alpha\cos\alpha} = {} \\ &= -\frac{\cos\alpha}{2\sin\alpha} = -\frac{1}{2}\operatorname{ctg}\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\sin 2\alpha\); 2) \(4\sin\alpha\); 3) \(-\frac{1}{2}\operatorname{ctg}\alpha\).
