Страница 191 номер 26.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Используя формулы половинного угла, найдите: 1) \(\sin 15^\circ\); 2) \(\cos 15^\circ\); 3) \(\operatorname{tg} 75^\circ\); 4) \(\cos 75^\circ\); 5) \(\operatorname{tg} 112^\circ 30'\); 6) \(\operatorname{tg} \frac{\pi}{8}\).
Формулы половинного угла дают модуль значения; знак определяем по четверти, в которой лежит угол.
1) Угол \(15^\circ\) — половина угла \(30^\circ\) — лежит в I четверти, поэтому \(\sin 15^\circ > 0\): \[\sin 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}.\]
2) Угол \(15^\circ\) лежит в I четверти, поэтому \(\cos 15^\circ > 0\): \[\cos 15^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}.\]
3) Угол \(75^\circ\) — половина угла \(150^\circ\) — лежит в I четверти, поэтому \(\operatorname{tg} 75^\circ > 0\).
\(\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). \[\begin{aligned} &\operatorname{tg} 75^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 150^\circ}{1 + \cos 150^\circ}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}} = {} \\ &= \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{3})^2}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}} = \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{3})^2}{4 - 3}} = 2 + \sqrt{3}. \end{aligned}\]
4) Угол \(75^\circ\) лежит в I четверти, поэтому \(\cos 75^\circ > 0\): \[\cos 75^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 150^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}.\]
5) Угол \(112^\circ 30'\) — половина угла \(225^\circ\) — лежит во II четверти, поэтому \(\operatorname{tg} 112^\circ 30' < 0\).
\(\cos 225^\circ = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). \[\begin{aligned} &\operatorname{tg} 112^\circ 30' = -\sqrt{\frac{1 - \cos 225^\circ}{1 + \cos 225^\circ}} = -\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}} = -\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}} = {} \\ &= -\sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2})^2}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}} = -\sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2})^2}{2}} = -\frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -(1 + \sqrt{2}). \end{aligned}\]
6) Угол \(\frac{\pi}{8}\) — половина угла \(\frac{\pi}{4}\) — лежит в I четверти, поэтому \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{8} > 0\). Учтём, что \(2 - \sqrt{2} > 0\): \[\begin{aligned} &\operatorname{tg}\frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \cos\frac{\pi}{4}}{1 + \cos\frac{\pi}{4}}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}} = {} \\ &= \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{2})^2}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})}} = \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{2})^2}{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\); 2) \(\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}\); 3) \(\operatorname{tg} 75^\circ = 2 + \sqrt{3}\); 4) \(\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\); 5) \(\operatorname{tg} 112^\circ 30' = -(1 + \sqrt{2})\); 6) \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1\).
Используя формулы половинного угла, найдите: 1) \(\sin 15^\circ\); 2) \(\cos 15^\circ\); 3) \(\operatorname{tg} 75^\circ\); 4) \(\cos 75^\circ\); 5) \(\operatorname{tg} 112^\circ 30'\); 6) \(\operatorname{tg} \frac{\pi}{8}\).
Формулы половинного угла дают модуль значения; знак определяем по четверти, в которой лежит угол.
1) Угол \(15^\circ\) — половина угла \(30^\circ\) — лежит в I четверти, поэтому \(\sin 15^\circ > 0\), и по формуле синуса половинного угла: \[\sin 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}.\]
2) Угол \(15^\circ\) лежит в I четверти, поэтому \(\cos 15^\circ > 0\), и по формуле косинуса половинного угла: \[\cos 15^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}.\]
3) Угол \(75^\circ\) — половина угла \(150^\circ\) — лежит в I четверти, поэтому \(\operatorname{tg} 75^\circ > 0\). По формуле приведения \(\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). По формуле тангенса половинного угла: \[\begin{aligned} &\operatorname{tg} 75^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 150^\circ}{1 + \cos 150^\circ}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}} = {} \\ &= \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{3})^2}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}} = \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{3})^2}{4 - 3}} = 2 + \sqrt{3}. \end{aligned}\]
4) Угол \(75^\circ\) лежит в I четверти, поэтому \(\cos 75^\circ > 0\). Учитывая, что \(\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), по формуле косинуса половинного угла получаем: \[\cos 75^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 150^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}.\]
5) Угол \(112^\circ 30'\) — половина угла \(225^\circ\) — лежит во II четверти, поэтому \(\operatorname{tg} 112^\circ 30' < 0\). По формуле приведения \(\cos 225^\circ = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). По формуле тангенса половинного угла: \[\begin{aligned} &\operatorname{tg} 112^\circ 30' = -\sqrt{\frac{1 - \cos 225^\circ}{1 + \cos 225^\circ}} = -\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}} = -\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}} = {} \\ &= -\sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2})^2}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}} = -\sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2})^2}{2}} = -\frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -(1 + \sqrt{2}). \end{aligned}\]
6) Угол \(\frac{\pi}{8}\) — половина угла \(\frac{\pi}{4}\) — лежит в I четверти, поэтому \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{8} > 0\). По формуле тангенса половинного угла, учитывая, что \(2 - \sqrt{2} > 0\), получаем: \[\begin{aligned} &\operatorname{tg}\frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \cos\frac{\pi}{4}}{1 + \cos\frac{\pi}{4}}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}} = {} \\ &= \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{2})^2}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})}} = \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{2})^2}{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\); 2) \(\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}\); 3) \(\operatorname{tg} 75^\circ = 2 + \sqrt{3}\); 4) \(\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\); 5) \(\operatorname{tg} 112^\circ 30' = -(1 + \sqrt{2})\); 6) \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1\).
