Страница 142 номер 18.12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Сравните: 1) \(\cos 10^\circ\) и \(\cos 10^\circ \cos 20^\circ\); 2) \(\sin 40^\circ\) и \(\sin^2 40^\circ\).
1) Углы \(10^\circ\) и \(20^\circ\) острые, точки, полученные поворотом на эти углы, лежат в первой координатной четверти, а их абсциссы положительны и меньше \(1\) (абсциссу, равную \(1\), имеет только точка \(P_0\)): \(\cos 10^\circ > 0\) и \(0 < \cos 20^\circ < 1\).
Разность \(\cos 10^\circ - \cos 10^\circ\cos 20^\circ = \cos 10^\circ \cdot (1 - \cos 20^\circ)\) положительна как произведение двух положительных множителей, то есть \(\cos 10^\circ > \cos 10^\circ\cos 20^\circ\).
2) Угол \(40^\circ\) острый, точка, полученная поворотом на этот угол, лежит в первой координатной четверти, а её ордината положительна и меньше \(1\) (ординату, равную \(1\), имеет только точка \((0;\ 1)\)): \(0 < \sin 40^\circ < 1\).
Разность \(\sin 40^\circ - \sin^2 40^\circ = \sin 40^\circ \cdot (1 - \sin 40^\circ)\) положительна как произведение двух положительных множителей, то есть \(\sin 40^\circ > \sin^2 40^\circ\).
Ответ: 1) \(\cos 10^\circ > \cos 10^\circ\cos 20^\circ\); 2) \(\sin 40^\circ > \sin^2 40^\circ\).
Сравните: 1) \(\cos 10^\circ\) и \(\cos 10^\circ \cos 20^\circ\); 2) \(\sin 40^\circ\) и \(\sin^2 40^\circ\).
1) Углы \(10^\circ\) и \(20^\circ\) острые, поэтому точки, полученные поворотом точки \(P_0(1;\ 0)\) на эти углы, лежат в первой координатной четверти. Абсцисса такой точки положительна и меньше \(1\) (абсциссу, равную \(1\), имеет только точка \(P_0\)), значит, \(\cos 10^\circ > 0\) и \(0 < \cos 20^\circ < 1\). Тогда разность \(\cos 10^\circ - \cos 10^\circ\cos 20^\circ = \cos 10^\circ \cdot (1 - \cos 20^\circ)\) положительна как произведение двух положительных множителей, то есть \(\cos 10^\circ > \cos 10^\circ\cos 20^\circ\).
2) Угол \(40^\circ\) острый, поэтому точка, полученная поворотом точки \(P_0\) на этот угол, лежит в первой координатной четверти. Её ордината положительна и меньше \(1\) (ординату, равную \(1\), имеет только точка \((0;\ 1)\)), значит, \(0 < \sin 40^\circ < 1\). Тогда разность \(\sin 40^\circ - \sin^2 40^\circ = \sin 40^\circ \cdot (1 - \sin 40^\circ)\) положительна как произведение двух положительных множителей, то есть \(\sin 40^\circ > \sin^2 40^\circ\).
Ответ: 1) \(\cos 10^\circ > \cos 10^\circ\cos 20^\circ\); 2) \(\sin 40^\circ > \sin^2 40^\circ\).
