Страница 141 номер 18.5, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения: 1) \(2 - \sin \alpha\); 2) \(6 - 2\cos \alpha\); 3) \(\sin^2 \alpha\); 4) \(2\cos^2 \alpha - 3\).
1) При умножении на \(-1\) знаки неравенств меняются на противоположные: \[\begin{aligned} -1 &\leqslant \sin\alpha \leqslant 1; \qquad | \cdot (-1) \\ 1 &\geqslant -\sin\alpha \geqslant -1; \qquad | +2 \\ 3 &\geqslant 2 - \sin\alpha \geqslant 1. \end{aligned}\] Наибольшее значение \(3\) выражение принимает при \(\sin\alpha = -1\), наименьшее значение \(1\) — при \(\sin\alpha = 1\).
2) При умножении на \(-2\) знаки неравенств меняются на противоположные: \[\begin{aligned} -1 &\leqslant \cos\alpha \leqslant 1; \qquad | \cdot (-2) \\ 2 &\geqslant -2\cos\alpha \geqslant -2; \qquad | +6 \\ 8 &\geqslant 6 - 2\cos\alpha \geqslant 4. \end{aligned}\] Наибольшее значение \(8\) выражение принимает при \(\cos\alpha = -1\), наименьшее значение \(4\) — при \(\cos\alpha = 1\).
3) Так как \(|\sin\alpha| \leqslant 1\), то \(0 \leqslant \sin^2\alpha \leqslant 1\). Наибольшее значение \(1\) выражение принимает при \(\sin\alpha = 1\), наименьшее значение \(0\) — при \(\sin\alpha = 0\).
4) Так как \(|\cos\alpha| \leqslant 1\), то \[\begin{aligned} 0 &\leqslant \cos^2\alpha \leqslant 1; \qquad | \cdot 2 \\ 0 &\leqslant 2\cos^2\alpha \leqslant 2; \qquad | -3 \\ -3 &\leqslant 2\cos^2\alpha - 3 \leqslant -1. \end{aligned}\] Наибольшее значение \(-1\) выражение принимает при \(\cos\alpha = 1\), наименьшее значение \(-3\) — при \(\cos\alpha = 0\).
Ответ: 1) наибольшее значение \(3\), наименьшее \(1\); 2) наибольшее значение \(8\), наименьшее \(4\); 3) наибольшее значение \(1\), наименьшее \(0\); 4) наибольшее значение \(-1\), наименьшее \(-3\).
Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения: 1) \(2 - \sin \alpha\); 2) \(6 - 2\cos \alpha\); 3) \(\sin^2 \alpha\); 4) \(2\cos^2 \alpha - 3\).
При любом \(\alpha\) выполняются неравенства \(-1 \leqslant \sin\alpha \leqslant 1\) и \(-1 \leqslant \cos\alpha \leqslant 1\), причём синус и косинус принимают каждое значение из промежутка \([-1;\ 1]\), в том числе \(-1\) и \(1\).
1) Умножим все части неравенства на \(-1\), изменив знаки неравенств на противоположные, и прибавим \(2\): \[\begin{aligned} -1 &\leqslant \sin\alpha \leqslant 1; \qquad | \cdot (-1) \\ 1 &\geqslant -\sin\alpha \geqslant -1; \qquad | +2 \\ 3 &\geqslant 2 - \sin\alpha \geqslant 1. \end{aligned}\] Наибольшее значение \(3\) выражение принимает при \(\sin\alpha = -1\), наименьшее значение \(1\) — при \(\sin\alpha = 1\).
2) Умножим все части неравенства на \(-2\), изменив знаки неравенств на противоположные, и прибавим \(6\): \[\begin{aligned} -1 &\leqslant \cos\alpha \leqslant 1; \qquad | \cdot (-2) \\ 2 &\geqslant -2\cos\alpha \geqslant -2; \qquad | +6 \\ 8 &\geqslant 6 - 2\cos\alpha \geqslant 4. \end{aligned}\] Наибольшее значение \(8\) выражение принимает при \(\cos\alpha = -1\), наименьшее значение \(4\) — при \(\cos\alpha = 1\).
3) Так как \(|\sin\alpha| \leqslant 1\), то \(0 \leqslant \sin^2\alpha \leqslant 1\). Наибольшее значение \(1\) выражение принимает при \(\sin\alpha = 1\), наименьшее значение \(0\) — при \(\sin\alpha = 0\).
4) Так как \(|\cos\alpha| \leqslant 1\), то \(0 \leqslant \cos^2\alpha \leqslant 1\). Умножим все части этого неравенства на \(2\) и вычтем \(3\): \[\begin{aligned} 0 &\leqslant \cos^2\alpha \leqslant 1; \qquad | \cdot 2 \\ 0 &\leqslant 2\cos^2\alpha \leqslant 2; \qquad | -3 \\ -3 &\leqslant 2\cos^2\alpha - 3 \leqslant -1. \end{aligned}\] Наибольшее значение \(-1\) выражение принимает при \(\cos\alpha = 1\), наименьшее значение \(-3\) — при \(\cos\alpha = 0\).
Ответ: 1) наибольшее значение \(3\), наименьшее \(1\); 2) наибольшее значение \(8\), наименьшее \(4\); 3) наибольшее значение \(1\), наименьшее \(0\); 4) наибольшее значение \(-1\), наименьшее \(-3\).
