Страница 142 номер 18.17, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что \(\sin \alpha = -\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\).
Для любого угла \(\beta\) верно равенство \(\cos\beta = \sin\left(\beta + \frac{\pi}{2}\right)\); при \(\beta = \frac{\pi}{2} + \alpha\) \[\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \sin(\pi + \alpha).\] Точка \(R_O^{\pi + \alpha}(P_0)\) получается из точки \(R_O^{\alpha}(P_0)\) поворотом вокруг начала координат на угол \(\pi\) — центральной симметрией с центром \(O\), поэтому координаты этих точек — противоположные числа: \(\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha\). Отсюда \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha\), то есть \(\sin\alpha = -\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\).
Ответ: при любом \(\alpha\) верно равенство \(\sin\alpha = -\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\).
Докажите, что \(\sin \alpha = -\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\).
Для любого угла \(\beta\) верно равенство \(\cos\beta = \sin\left(\beta + \frac{\pi}{2}\right)\): абсцисса точки \(R_O^{\beta}(P_0)\) равна ординате точки \(R_O^{\beta + \frac{\pi}{2}}(P_0)\). Применим его при \(\beta = \frac{\pi}{2} + \alpha\): \[\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \sin(\pi + \alpha).\] Точка \(R_O^{\pi + \alpha}(P_0)\) получается из точки \(R_O^{\alpha}(P_0)\) поворотом вокруг начала координат на угол \(\pi\), а такой поворот — центральная симметрия с центром \(O\). Значит, эти точки симметричны относительно начала координат, и их координаты — противоположные числа; в частности, \(\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha\). Отсюда \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha\), то есть \(\sin\alpha = -\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\).
Ответ: при любом \(\alpha\) верно равенство \(\sin\alpha = -\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\).
