Вопросы после параграфа §19 на странице 144, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Пусть точка \(P(x;\ y)\) единичной окружности получена поворотом точки \(P_0(1;\ 0)\) на угол \(\alpha\). По определению \(\cos\alpha = x\), \(\sin\alpha = y\), поэтому знак синуса совпадает со знаком ординаты точки \(P\), а знак косинуса — со знаком её абсциссы. Точки I четверти имеют положительные абсциссу и ординату, точки II четверти — отрицательную абсциссу и положительную ординату, точки III четверти — отрицательные абсциссу и ординату, точки IV четверти — положительную абсциссу и отрицательную ординату.

Тангенс и котангенс — частные синуса и косинуса: \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), \(\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\). Частное положительно, если делимое и делитель одного знака, и отрицательно, если они разных знаков, поэтому тангенс и котангенс положительны для углов I и III четвертей и отрицательны для углов II и IV четвертей. Знаки по четвертям: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{четверть} & \text{I} & \text{II} & \text{III} & \text{IV} \\ \hline \sin\alpha & + & + & - & - \\ \hline \cos\alpha & + & - & - & + \\ \hline \operatorname{tg}\alpha & + & - & + & - \\ \hline \operatorname{ctg}\alpha & + & - & + & - \\ \hline \end{array}\]

Углы вида \(\frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\), ни к какой четверти не относятся: им соответствуют точки осей координат.

Например, \(\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi\), поэтому \(\frac{2\pi}{3}\) — угол II четверти, и \(\sin\frac{2\pi}{3} > 0\), \(\cos\frac{2\pi}{3} < 0\), \(\operatorname{tg}\frac{2\pi}{3} < 0\), \(\operatorname{ctg}\frac{2\pi}{3} < 0\).

Ответ: в I четверти синус, косинус, тангенс и котангенс положительны; во II четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны; в III четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны; в IV четверти косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс отрицательны.

Функцию \(f\) называют чётной, если для любого \(x\) из её области определения выполняется равенство \(f(-x) = f(x)\), и нечётной, если выполняется равенство \(f(-x) = -f(x)\); область определения такой функции симметрична относительно начала координат.

Пусть точки \(P_1\) и \(P_2\) получены поворотом точки \(P_0(1;\ 0)\) на углы \(\alpha\) и \(-\alpha\) соответственно. Это повороты на один и тот же угол в противоположных направлениях, поэтому точки \(P_1\) и \(P_2\) симметричны относительно оси абсцисс: их абсциссы равны, а ординаты противоположны. Из определений синуса и косинуса следует, что для любого \(\alpha \in \mathbf{R}\) \[\begin{aligned} \cos(-\alpha) &= \cos\alpha, \\ \sin(-\alpha) &= -\sin\alpha. \end{aligned}\]

Область определения синуса и косинуса — \(\mathbf{R}\), поэтому косинус — чётная функция, а синус — нечётная.

Область определения тангенса — все действительные числа, кроме чисел вида \(\frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), котангенса — все действительные числа, кроме чисел вида \(\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). Обе эти области симметричны относительно начала координат: число, противоположное исключённому, тоже исключено, так как \(-\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right) = \frac{\pi}{2} + \pi(-k - 1)\) и \(-\pi k = \pi \cdot (-k)\). Кроме того, \[\begin{aligned} \operatorname{tg}(-\alpha) &= \frac{\sin(-\alpha)}{\cos(-\alpha)} = \frac{-\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\operatorname{tg}\alpha, \\ \operatorname{ctg}(-\alpha) &= \frac{\cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha)} = \frac{\cos\alpha}{-\sin\alpha} = -\operatorname{ctg}\alpha. \end{aligned}\]

Следовательно, тангенс и котангенс — нечётные функции.

Например, \(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\), \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}\), \(\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = -1\).

Ответ: косинус — чётная функция: \(\cos(-\alpha) = \cos\alpha\); синус, тангенс и котангенс — нечётные функции: \(\sin(-\alpha) = -\sin\alpha\), \(\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha\), \(\operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg}\alpha\).