Страница 142 номер 18.10, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях \(a\) возможно равенство: 1) \(\sin x = a - 2\); 2) \(\cos x = a^2 + 2\); 3) \(\sin x = 2a - a^2 - 2\)?
1) Равенство возможно тогда и только тогда, когда \[\begin{aligned} -1 &\leqslant a - 2 \leqslant 1; \qquad | +2 \\ 1 &\leqslant a \leqslant 3. \end{aligned}\]
2) Так как \(a^2 \geqslant 0\), то \(a^2 + 2 \geqslant 2 > 1\) при любом \(a\), поэтому равенство \(\cos x = a^2 + 2\) невозможно ни при каком значении \(a\).
3) \[2a - a^2 - 2 = -(a^2 - 2a + 1) - 1 = -(a - 1)^2 - 1.\] Так как \((a - 1)^2 \geqslant 0\), то \(2a - a^2 - 2 \leqslant -1 < 1\) при любом \(a\), поэтому равенство возможно тогда и только тогда, когда \(-(a - 1)^2 - 1 \geqslant -1\), то есть \((a - 1)^2 \leqslant 0\), а это выполняется только при \(a = 1\).
Ответ: 1) \(1 \leqslant a \leqslant 3\); 2) таких значений \(a\) не существует; 3) \(a = 1\).
При каких значениях \(a\) возможно равенство: 1) \(\sin x = a - 2\); 2) \(\cos x = a^2 + 2\); 3) \(\sin x = 2a - a^2 - 2\)?
Область значений функций \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\) — промежуток \([-1;\ 1]\): синус и косинус принимают каждое значение из этого промежутка и не принимают других значений. Поэтому равенство \(\sin x = b\) (и равенство \(\cos x = b\)) возможно тогда и только тогда, когда \(-1 \leqslant b \leqslant 1\).
1) Равенство \(\sin x = a - 2\) возможно тогда и только тогда, когда \[\begin{aligned} -1 &\leqslant a - 2 \leqslant 1; \qquad | +2 \\ 1 &\leqslant a \leqslant 3. \end{aligned}\]
2) Так как \(a^2 \geqslant 0\), то \(a^2 + 2 \geqslant 2 > 1\) при любом \(a\). Значит, равенство \(\cos x = a^2 + 2\) невозможно ни при каком значении \(a\).
3) Выделим полный квадрат: \[2a - a^2 - 2 = -(a^2 - 2a + 1) - 1 = -(a - 1)^2 - 1.\] Так как \((a - 1)^2 \geqslant 0\), то \(2a - a^2 - 2 \leqslant -1 < 1\) при любом \(a\). Поэтому равенство \(\sin x = 2a - a^2 - 2\) возможно тогда и только тогда, когда \(-(a - 1)^2 - 1 \geqslant -1\), то есть \((a - 1)^2 \leqslant 0\). Это неравенство выполняется только при \(a = 1\).
Ответ: 1) \(1 \leqslant a \leqslant 3\); 2) таких значений \(a\) не существует; 3) \(a = 1\).
