Страница 142 номер 18.16, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Найдите область значений функции: 1) \(y = \frac{2}{3 - \cos x}\); 2) \(y = \frac{1}{\sin x + 1}\); 3) \(y = \frac{1}{1 - 2\cos x}\).
1) При умножении на \(-1\) знаки неравенств меняются на противоположные: \[\begin{aligned} -1 &\leqslant \cos x \leqslant 1; \qquad | \cdot (-1) \\ 1 &\geqslant -\cos x \geqslant -1; \qquad | +3 \\ 4 &\geqslant 3 - \cos x \geqslant 2. \end{aligned}\] Знаменатель положителен, поэтому функция определена при всех \(x\); все части неравенства положительны, поэтому при переходе к обратным величинам знаки неравенств меняются на противоположные: \(\frac{1}{4} \leqslant \frac{1}{3 - \cos x} \leqslant \frac{1}{2}\), откуда \(\frac{1}{2} \leqslant \frac{2}{3 - \cos x} \leqslant 1\). Каждое число \(b\) из промежутка \(\left[\frac{1}{2};\ 1\right]\) — значение функции: \(\frac{2}{3 - \cos x} = b\) при \(\cos x = 3 - \frac{2}{b}\), а \(2 \leqslant \frac{2}{b} \leqslant 4\), поэтому \(-1 \leqslant 3 - \frac{2}{b} \leqslant 1\). Следовательно, область значений функции — промежуток \(\left[\frac{1}{2};\ 1\right]\).
2) Функция определена при \(\sin x \ne -1\), то есть при \(-1 < \sin x \leqslant 1\). Тогда \(0 < \sin x + 1 \leqslant 2\), откуда \(\frac{1}{\sin x + 1} \geqslant \frac{1}{2}\), причём равенство достигается при \(\sin x = 1\). Каждое число \(b \geqslant \frac{1}{2}\) — значение функции: \(\frac{1}{\sin x + 1} = b\) при \(\sin x = \frac{1}{b} - 1\), а \(0 < \frac{1}{b} \leqslant 2\), поэтому \(-1 < \frac{1}{b} - 1 \leqslant 1\). Следовательно, область значений функции — промежуток \(\left[\frac{1}{2};\ +\infty\right)\).
3) При умножении на \(-2\) знаки неравенств меняются на противоположные: \[\begin{aligned} -1 &\leqslant \cos x \leqslant 1; \qquad | \cdot (-2) \\ 2 &\geqslant -2\cos x \geqslant -2; \qquad | +1 \\ 3 &\geqslant 1 - 2\cos x \geqslant -1. \end{aligned}\] Знаменатель \(1 - 2\cos x\) принимает все значения из промежутка \([-1;\ 3]\); функция определена, когда знаменатель не равен нулю.
При \(0 < 1 - 2\cos x \leqslant 3\) получаем, что \(\frac{1}{1 - 2\cos x} \geqslant \frac{1}{3}\), причём равенство достигается при \(\cos x = -1\).
При \(-1 \leqslant 1 - 2\cos x < 0\) получаем, что \(\frac{1}{1 - 2\cos x} \leqslant -1\), причём равенство достигается при \(\cos x = 1\).
Каждое число \(b \geqslant \frac{1}{3}\) — значение функции: \(\frac{1}{1 - 2\cos x} = b\), когда \(1 - 2\cos x = \frac{1}{b}\), а \(0 < \frac{1}{b} \leqslant 3\); так же каждое число \(b \leqslant -1\) — значение функции, так как тогда \(-1 \leqslant \frac{1}{b} < 0\). Следовательно, область значений функции — множество \((-\infty;\ -1] \cup \left[\frac{1}{3};\ +\infty\right)\).
Ответ: области значений функций: 1) \(\left[\frac{1}{2};\ 1\right]\); 2) \(\left[\frac{1}{2};\ +\infty\right)\); 3) \((-\infty;\ -1] \cup \left[\frac{1}{3};\ +\infty\right)\).
Найдите область значений функции: 1) \(y = \frac{2}{3 - \cos x}\); 2) \(y = \frac{1}{\sin x + 1}\); 3) \(y = \frac{1}{1 - 2\cos x}\).
Синус и косинус принимают все значения из промежутка \([-1;\ 1]\) и только их.
1) Умножим все части неравенства \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\) на \(-1\), изменив знаки неравенств на противоположные, и прибавим \(3\): \[\begin{aligned} -1 &\leqslant \cos x \leqslant 1; \qquad | \cdot (-1) \\ 1 &\geqslant -\cos x \geqslant -1; \qquad | +3 \\ 4 &\geqslant 3 - \cos x \geqslant 2. \end{aligned}\] Знаменатель положителен, поэтому функция определена при всех \(x\). Все части полученного неравенства положительны, поэтому при переходе к обратным величинам знаки неравенств меняются на противоположные: \(\frac{1}{4} \leqslant \frac{1}{3 - \cos x} \leqslant \frac{1}{2}\), откуда \(\frac{1}{2} \leqslant \frac{2}{3 - \cos x} \leqslant 1\). Каждое число \(b\) из промежутка \(\left[\frac{1}{2};\ 1\right]\) — значение функции: равенство \(\frac{2}{3 - \cos x} = b\) выполняется при \(\cos x = 3 - \frac{2}{b}\), а \(2 \leqslant \frac{2}{b} \leqslant 4\), поэтому \(-1 \leqslant 3 - \frac{2}{b} \leqslant 1\). Следовательно, область значений функции — промежуток \(\left[\frac{1}{2};\ 1\right]\).
2) Функция определена при \(\sin x \ne -1\), то есть при \(-1 < \sin x \leqslant 1\). Тогда \(0 < \sin x + 1 \leqslant 2\), откуда \(\frac{1}{\sin x + 1} \geqslant \frac{1}{2}\), причём равенство достигается при \(\sin x = 1\). Каждое число \(b \geqslant \frac{1}{2}\) — значение функции: равенство \(\frac{1}{\sin x + 1} = b\) выполняется при \(\sin x = \frac{1}{b} - 1\), а \(0 < \frac{1}{b} \leqslant 2\), поэтому \(-1 < \frac{1}{b} - 1 \leqslant 1\). Следовательно, область значений функции — промежуток \(\left[\frac{1}{2};\ +\infty\right)\).
3) Умножим все части неравенства \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\) на \(-2\), изменив знаки неравенств на противоположные, и прибавим \(1\): \[\begin{aligned} -1 &\leqslant \cos x \leqslant 1; \qquad | \cdot (-2) \\ 2 &\geqslant -2\cos x \geqslant -2; \qquad | +1 \\ 3 &\geqslant 1 - 2\cos x \geqslant -1. \end{aligned}\] Знаменатель \(1 - 2\cos x\) принимает все значения из промежутка \([-1;\ 3]\); функция определена, когда знаменатель не равен нулю.
При \(0 < 1 - 2\cos x \leqslant 3\) получаем, что \(\frac{1}{1 - 2\cos x} \geqslant \frac{1}{3}\), причём равенство достигается при \(\cos x = -1\).
При \(-1 \leqslant 1 - 2\cos x < 0\) получаем, что \(\frac{1}{1 - 2\cos x} \leqslant -1\), причём равенство достигается при \(\cos x = 1\).
Каждое число \(b \geqslant \frac{1}{3}\) — значение функции: равенство \(\frac{1}{1 - 2\cos x} = b\) выполняется, когда \(1 - 2\cos x = \frac{1}{b}\), а \(0 < \frac{1}{b} \leqslant 3\). Так же каждое число \(b \leqslant -1\) — значение функции, так как тогда \(-1 \leqslant \frac{1}{b} < 0\). Следовательно, область значений функции — множество \((-\infty;\ -1] \cup \left[\frac{1}{3};\ +\infty\right)\).
Ответ: области значений функций: 1) \(\left[\frac{1}{2};\ 1\right]\); 2) \(\left[\frac{1}{2};\ +\infty\right)\); 3) \((-\infty;\ -1] \cup \left[\frac{1}{3};\ +\infty\right)\).
