Страница 142 номер 18.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Найдите область значений выражения: 1) \(\frac{1}{2 + \sin x}\); 2) \(\frac{1}{1 - \cos x}\); 3) \(\frac{2}{4\sin x - 3}\).
1) \[\begin{aligned} -1 &\leqslant \sin x \leqslant 1; \qquad | +2 \\ 1 &\leqslant 2 + \sin x \leqslant 3. \end{aligned}\] Знаменатель положителен, поэтому выражение определено при всех \(x\); все части неравенства положительны, поэтому при переходе к обратным величинам знаки неравенств меняются на противоположные: \[1 \geqslant \frac{1}{2 + \sin x} \geqslant \frac{1}{3}.\] Каждое число \(b\) из промежутка \(\left[\frac{1}{3};\ 1\right]\) — значение выражения: \(\frac{1}{2 + \sin x} = b\) при \(\sin x = \frac{1}{b} - 2\), а \(1 \leqslant \frac{1}{b} \leqslant 3\), поэтому \(-1 \leqslant \frac{1}{b} - 2 \leqslant 1\). Следовательно, область значений выражения — промежуток \(\left[\frac{1}{3};\ 1\right]\).
2) Выражение определено при \(\cos x \ne 1\), то есть при \(-1 \leqslant \cos x < 1\); при умножении на \(-1\) знаки неравенств меняются на противоположные: \[\begin{aligned} -1 &\leqslant \cos x < 1; \qquad | \cdot (-1) \\ 1 &\geqslant -\cos x > -1; \qquad | +1 \\ 2 &\geqslant 1 - \cos x > 0. \end{aligned}\] Так как \(0 < 1 - \cos x \leqslant 2\), то \(\frac{1}{1 - \cos x} \geqslant \frac{1}{2}\), причём равенство достигается при \(\cos x = -1\). Каждое число \(b \geqslant \frac{1}{2}\) — значение выражения: \(\frac{1}{1 - \cos x} = b\) при \(\cos x = 1 - \frac{1}{b}\), а \(0 < \frac{1}{b} \leqslant 2\), поэтому \(-1 \leqslant 1 - \frac{1}{b} < 1\). Следовательно, область значений выражения — промежуток \(\left[\frac{1}{2};\ +\infty\right)\).
3) \[\begin{aligned} -1 &\leqslant \sin x \leqslant 1; \qquad | \cdot 4 \\ -4 &\leqslant 4\sin x \leqslant 4; \qquad | -3 \\ -7 &\leqslant 4\sin x - 3 \leqslant 1. \end{aligned}\] Знаменатель \(4\sin x - 3\) принимает все значения из промежутка \([-7;\ 1]\); выражение определено, когда знаменатель не равен нулю.
При \(0 < 4\sin x - 3 \leqslant 1\) получаем, что \(\frac{2}{4\sin x - 3} \geqslant 2\), причём равенство достигается при \(\sin x = 1\).
При \(-7 \leqslant 4\sin x - 3 < 0\) получаем, что \(\frac{2}{4\sin x - 3} \leqslant -\frac{2}{7}\), причём равенство достигается при \(\sin x = -1\).
Каждое число \(b \geqslant 2\) — значение выражения: \(\frac{2}{4\sin x - 3} = b\), когда \(4\sin x - 3 = \frac{2}{b}\), а \(0 < \frac{2}{b} \leqslant 1\); так же каждое число \(b \leqslant -\frac{2}{7}\) — значение выражения, так как тогда \(-7 \leqslant \frac{2}{b} < 0\). Следовательно, область значений выражения — множество \(\left(-\infty;\ -\frac{2}{7}\right] \cup [2;\ +\infty)\).
Ответ: области значений выражений: 1) \(\left[\frac{1}{3};\ 1\right]\); 2) \(\left[\frac{1}{2};\ +\infty\right)\); 3) \(\left(-\infty;\ -\frac{2}{7}\right] \cup [2;\ +\infty)\).
Найдите область значений выражения: 1) \(\frac{1}{2 + \sin x}\); 2) \(\frac{1}{1 - \cos x}\); 3) \(\frac{2}{4\sin x - 3}\).
Синус и косинус принимают все значения из промежутка \([-1;\ 1]\) и только их.
1) Прибавим \(2\) ко всем частям неравенства \(-1 \leqslant \sin x \leqslant 1\): \[\begin{aligned} -1 &\leqslant \sin x \leqslant 1; \qquad | +2 \\ 1 &\leqslant 2 + \sin x \leqslant 3. \end{aligned}\] Знаменатель положителен, поэтому выражение определено при всех \(x\). Все части полученного неравенства положительны, поэтому при переходе к обратным величинам знаки неравенств меняются на противоположные: \[1 \geqslant \frac{1}{2 + \sin x} \geqslant \frac{1}{3}.\] Каждое число \(b\) из промежутка \(\left[\frac{1}{3};\ 1\right]\) — значение выражения: равенство \(\frac{1}{2 + \sin x} = b\) выполняется при \(\sin x = \frac{1}{b} - 2\), а \(1 \leqslant \frac{1}{b} \leqslant 3\), поэтому \(-1 \leqslant \frac{1}{b} - 2 \leqslant 1\). Следовательно, область значений выражения — промежуток \(\left[\frac{1}{3};\ 1\right]\).
2) Выражение \(\frac{1}{1 - \cos x}\) определено при \(\cos x \ne 1\), то есть при \(-1 \leqslant \cos x < 1\). Умножим все части этого неравенства на \(-1\), изменив знаки неравенств на противоположные, и прибавим \(1\): \[\begin{aligned} -1 &\leqslant \cos x < 1; \qquad | \cdot (-1) \\ 1 &\geqslant -\cos x > -1; \qquad | +1 \\ 2 &\geqslant 1 - \cos x > 0. \end{aligned}\] Так как \(0 < 1 - \cos x \leqslant 2\), то \(\frac{1}{1 - \cos x} \geqslant \frac{1}{2}\), причём равенство достигается при \(\cos x = -1\). Каждое число \(b \geqslant \frac{1}{2}\) — значение выражения: равенство \(\frac{1}{1 - \cos x} = b\) выполняется при \(\cos x = 1 - \frac{1}{b}\), а \(0 < \frac{1}{b} \leqslant 2\), поэтому \(-1 \leqslant 1 - \frac{1}{b} < 1\). Следовательно, область значений выражения — промежуток \(\left[\frac{1}{2};\ +\infty\right)\).
3) Умножим все части неравенства \(-1 \leqslant \sin x \leqslant 1\) на \(4\) и вычтем \(3\): \[\begin{aligned} -1 &\leqslant \sin x \leqslant 1; \qquad | \cdot 4 \\ -4 &\leqslant 4\sin x \leqslant 4; \qquad | -3 \\ -7 &\leqslant 4\sin x - 3 \leqslant 1. \end{aligned}\] Знаменатель \(4\sin x - 3\) принимает все значения из промежутка \([-7;\ 1]\); выражение определено, когда знаменатель не равен нулю.
При \(0 < 4\sin x - 3 \leqslant 1\) получаем, что \(\frac{2}{4\sin x - 3} \geqslant 2\), причём равенство достигается при \(\sin x = 1\).
При \(-7 \leqslant 4\sin x - 3 < 0\) получаем, что \(\frac{2}{4\sin x - 3} \leqslant -\frac{2}{7}\), причём равенство достигается при \(\sin x = -1\).
Каждое число \(b \geqslant 2\) — значение выражения: равенство \(\frac{2}{4\sin x - 3} = b\) выполняется, когда \(4\sin x - 3 = \frac{2}{b}\), а \(0 < \frac{2}{b} \leqslant 1\). Так же каждое число \(b \leqslant -\frac{2}{7}\) — значение выражения, так как тогда \(-7 \leqslant \frac{2}{b} < 0\). Следовательно, область значений выражения — множество \(\left(-\infty;\ -\frac{2}{7}\right] \cup [2;\ +\infty)\).
Ответ: области значений выражений: 1) \(\left[\frac{1}{3};\ 1\right]\); 2) \(\left[\frac{1}{2};\ +\infty\right)\); 3) \(\left(-\infty;\ -\frac{2}{7}\right] \cup [2;\ +\infty)\).
