Контрольная работа 10 Вариант 2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Степень с рациональным показателем определена для положительного основания, а нуль в положительной рациональной степени равен нулю. Поэтому данное выражение имеет смысл при \(b \geqslant 0\).

Раскроем скобки, применив свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями и формулу квадрата разности: \[\begin{aligned} &b^{\frac{1}{6}}\left(b^{\frac{1}{6}} - 4\right) - \left(b^{\frac{1}{6}} - 2\right)^2 = {} \\ &= b^{\frac{1}{3}} - 4b^{\frac{1}{6}} - \left(b^{\frac{1}{3}} - 4b^{\frac{1}{6}} + 4\right) = {} \\ &= b^{\frac{1}{3}} - 4b^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{3}} + 4b^{\frac{1}{6}} - 4 = -4. \end{aligned}\]

Слагаемые с переменной взаимно уничтожились: при каждом \(b \geqslant 0\) значение выражения равно \(-4\).

Ответ: \(-4\) при \(b \geqslant 0\).

Корень квадратный определён только при неотрицательном подкоренном выражении, поэтому область определения функции \(f\) задаётся неравенством \[\frac{x^2 - 16}{-x^2 + 6x - 5} \geqslant 0.\]

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\), а \(-x^2 + 6x - 5 = -\left(x^2 - 6x + 5\right) = -(x - 1)(x - 5)\). Значит, надо решить неравенство \[\frac{(x - 4)(x + 4)}{-(x - 1)(x - 5)} \geqslant 0.\]

Рассмотрим функцию \(g(x) = \dfrac{(x - 4)(x + 4)}{-(x - 1)(x - 5)}\). Она является частным многочленов, поэтому непрерывна на своей области определения \((-\infty;\ 1) \cup (1;\ 5) \cup (5;\ +\infty)\). Нулями функции \(g\) являются числа \(-4\) и 4. Поэтому промежутками знакопостоянства функции \(g\) будут \((-\infty;\ -4)\), \((-4;\ 1)\), \((1;\ 4)\), \((4;\ 5)\), \((5;\ +\infty)\).

С помощью «пробных точек» определим знаки функции \(g\) на этих промежутках. Имеем:

\(-5 \in (-\infty;\ -4)\); \(g(-5) = \frac{(-9) \cdot (-1)}{-(-6) \cdot (-10)} = -\frac{3}{20} < 0\), поэтому \(g(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -4)\);

\(0 \in (-4;\ 1)\); \(g(0) = \frac{(-4) \cdot 4}{-(-1) \cdot (-5)} = \frac{16}{5} > 0\), поэтому \(g(x) > 0\) при любом \(x \in (-4;\ 1)\);

\(2 \in (1;\ 4)\); \(g(2) = \frac{(-2) \cdot 6}{-1 \cdot (-3)} = -4 < 0\), поэтому \(g(x) < 0\) при любом \(x \in (1;\ 4)\);

\(4{,}5 \in (4;\ 5)\); \(g(4{,}5) = \frac{0{,}5 \cdot 8{,}5}{-3{,}5 \cdot (-0{,}5)} = \frac{17}{7} > 0\), поэтому \(g(x) > 0\) при любом \(x \in (4;\ 5)\);

\(6 \in (5;\ +\infty)\); \(g(6) = \frac{2 \cdot 10}{-5 \cdot 1} = -4 < 0\), поэтому \(g(x) < 0\) при любом \(x \in (5;\ +\infty)\).

Неравенство нестрогое, поэтому к промежуткам \((-4;\ 1)\) и \((4;\ 5)\) надо добавить нули функции \(g\) — числа \(-4\) и 4: в обеих точках знаменатель дроби в нуль не обращается, значит, обе они принадлежат области определения функции \(f\). Числа 1 и 5 обращают знаменатель в нуль, поэтому в область определения они не входят.

Ответ: \(D(f) = [-4;\ 1) \cup [4;\ 5)\).

1) \(\sqrt{3x + 1} = x - 1\).

Уравнение вида \(\sqrt{f(x)} = g(x)\) равносильно системе, в которой обе части возведены в квадрат, а правая часть неотрицательна: \[\begin{cases} 3x + 1 = (x - 1)^2, \\ x - 1 \geqslant 0. \end{cases}\] Отсюда \[\begin{cases} 3x + 1 = x^2 - 2x + 1, \\ x \geqslant 1; \end{cases} \quad \begin{cases} x^2 - 5x = 0, \\ x \geqslant 1; \end{cases} \quad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 0, \\ x = 5, \end{array}\right. \\ x \geqslant 1. \end{cases}\] Число 0 условию \(x \geqslant 1\) не удовлетворяет, поэтому корень уравнения только один: \(x = 5\).

2) \(6\cos^2 4x + 2\sin 8x = 5\).

По формуле синуса двойного угла \(\sin 8x = 2\sin 4x\cos 4x\), а правую часть по основному тригонометрическому тождеству запишем в виде \(5\left(\sin^2 4x + \cos^2 4x\right)\). Получаем: \[6\cos^2 4x + 4\sin 4x\cos 4x = 5\sin^2 4x + 5\cos^2 4x;\] \[5\sin^2 4x - 4\sin 4x\cos 4x - \cos^2 4x = 0.\] Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени относительно \(\sin 4x\) и \(\cos 4x\). Если \(\cos 4x = 0\), то из полученного уравнения следует, что \(\sin 4x = 0\). Однако \(\sin 4x\) и \(\cos 4x\) не могут одновременно быть равными нулю, поскольку имеет место равенство \(\sin^2 4x + \cos^2 4x = 1\). Следовательно, множество корней уравнения состоит из таких чисел \(x\), при которых \(\cos 4x \ne 0\), и деление обеих частей на \(\cos^2 4x\) даёт равносильное уравнение \[5\,\mathrm{tg}^2\,4x - 4\,\mathrm{tg}\,4x - 1 = 0.\] Пусть \(\mathrm{tg}\,4x = t\). Тогда \(5t^2 - 4t - 1 = 0\); \(D = 16 + 20 = 36\) — дискриминант положителен, корня два: \(t = \frac{4 \pm 6}{10}\), то есть \(t = 1\) или \(t = -\frac{1}{5}\). С учётом замены получаем совокупность \[\left[\begin{array}{l} \mathrm{tg}\,4x = 1, \\ \mathrm{tg}\,4x = -\frac{1}{5}; \end{array}\right. \quad \left[\begin{array}{l} 4x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \\ 4x = -\mathrm{arctg}\,\frac{1}{5} + \pi n,\ n \in \mathbf{Z}. \end{array}\right.\] Отсюда \[\left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, \\ x = -\frac{1}{4}\,\mathrm{arctg}\,\frac{1}{5} + \frac{\pi n}{4},\ n \in \mathbf{Z}. \end{array}\right.\] Здесь учтено, что арктангенс — нечётная функция, поэтому \(\mathrm{arctg}\left(-\frac{1}{5}\right) = -\mathrm{arctg}\,\frac{1}{5}\).

3) \(\mathrm{tg}\,4x\cos x - \sin x - \sqrt{2}\,\sin 3x = 0\).

Тангенс определён при \(\cos 4x \ne 0\) — это и есть область определения уравнения.

Заменив \(\mathrm{tg}\,4x = \frac{\sin 4x}{\cos 4x}\), вычтем из первого слагаемого второе. Их разность равна \[\frac{\sin 4x\cos x}{\cos 4x} - \sin x = \frac{\sin 4x\cos x - \cos 4x\sin x}{\cos 4x} = \frac{\sin 3x}{\cos 4x},\] поскольку по формуле синуса разности \(\sin 4x\cos x - \cos 4x\sin x = \sin\,(4x - x) = \sin 3x\).

Уравнение принимает вид \(\frac{\sin 3x}{\cos 4x} - \sqrt{2}\,\sin 3x = 0\), то есть \[\frac{\sin 3x\left(1 - \sqrt{2}\cos 4x\right)}{\cos 4x} = 0.\] Дробь равна нулю тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. Значит, уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} \sin 3x = 0, \\ \cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \end{array}\right. \\ \cos 4x \ne 0. \end{cases}\]

Из уравнения \(\sin 3x = 0\) получаем \(3x = \pi n\), то есть \(x = \frac{\pi n}{3}\), \(n \in \mathbf{Z}\). Все эти числа условию \(\cos 4x \ne 0\) удовлетворяют. Действительно, равенство \(\cos 4x = 0\) означало бы, что \(4x = \frac{\pi}{2} + \pi m\) при некотором целом \(m\), то есть \(\frac{4\pi n}{3} = \frac{\pi\,(1 + 2m)}{2}\); отсюда \(8n = 3 + 6m\), но слева стоит чётное число, а справа — нечётное, и такое равенство невозможно.

Из уравнения \(\cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) получаем \(4x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n\), то есть \(x = \pm\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\). Здесь \(\cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2} \ne 0\), и второе условие системы тоже выполняется.

Ответ: 1) 5; 2) \(\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}\); \(-\frac{1}{4}\,\mathrm{arctg}\,\frac{1}{5} + \frac{\pi n}{4}\), \(n \in \mathbf{Z}\); 3) \(\frac{\pi n}{3}\), \(n \in \mathbf{Z}\); \(\pm\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Обе части тождества определены при тех значениях \(\alpha\), при которых знаменатели дробей в нуль не обращаются: \(\sin 3\alpha \ne 0\), \(\cos 3\alpha \ne 0\), \(\cos 4\alpha \ne 0\). При этих значениях \(\alpha\) и будем преобразовывать левую часть.

Приведём сумму в скобках к общему знаменателю. Числитель полученной дроби свернём по формуле косинуса разности: \(\cos 7\alpha\cos 3\alpha + \sin 7\alpha\sin 3\alpha = \cos\,(7\alpha - 3\alpha) = \cos 4\alpha\), а знаменатель — по формуле синуса двойного угла: \(\sin 3\alpha\cos 3\alpha = \frac{1}{2}\sin 6\alpha\). Имеем: \[\frac{\cos 7\alpha}{\sin 3\alpha} + \frac{\sin 7\alpha}{\cos 3\alpha} = \frac{\cos 4\alpha}{\sin 3\alpha\cos 3\alpha} = \frac{2\cos 4\alpha}{\sin 6\alpha}.\]

Числитель второй дроби преобразуем по формуле разности косинусов; минус — часть этой формулы, и именно он даёт знак правой части тождества. Имеем: \[\cos 7\alpha - \cos 5\alpha = -2\sin\frac{7\alpha + 5\alpha}{2}\sin\frac{7\alpha - 5\alpha}{2} = -2\sin 6\alpha\sin\alpha.\]

Остаётся перемножить полученные выражения: \[\frac{2\cos 4\alpha}{\sin 6\alpha} \cdot \frac{-2\sin 6\alpha\sin\alpha}{\cos 4\alpha} = -4\sin\alpha.\]

Левая часть равенства преобразована в правую, значит, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано: \(\left(\dfrac{\cos 7\alpha}{\sin 3\alpha} + \dfrac{\sin 7\alpha}{\cos 3\alpha}\right) \cdot \dfrac{\cos 7\alpha - \cos 5\alpha}{\cos 4\alpha} = -4\sin\alpha\).

Неравенство вида \(\sqrt{f(x)} < g(x)\) равносильно системе из трёх условий: квадрат правой части больше подкоренного выражения, правая часть положительна, подкоренное выражение неотрицательно. Имеем: \[\begin{cases} 4 - 3x < (x + 2)^2, \\ x + 2 > 0, \\ 4 - 3x \geqslant 0. \end{cases}\] Первое неравенство системы даёт \(4 - 3x < x^2 + 4x + 4\), то есть \(x^2 + 7x > 0\); отсюда \(x\,(x + 7) > 0\), то есть \(x < -7\) или \(x > 0\). Получаем: \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} x < -7, \\ x > 0, \end{array}\right. \\ x > -2, \\ x \leqslant \frac{4}{3}. \end{cases}\] Числа, меньшие \(-7\), условию \(x > -2\) не удовлетворяют, поэтому эта ветвь решений отпадает. Остаётся пересечение промежутков \(x > 0\) и \(x \leqslant \frac{4}{3}\), то есть \(0 < x \leqslant \frac{4}{3}\). Правый конец входит в ответ: при \(x = \frac{4}{3}\) левая часть данного неравенства равна нулю, а правая равна \(\frac{10}{3}\).

Ответ: \(\left(0;\ \frac{4}{3}\right]\).

1. Функция определена на множестве действительных чисел, то есть \(D(f) = \mathbf{R}\).

2. Имеем: \(f(-x) = (-x)^3 - 0{,}5(-x)^2 = -x^3 - 0{,}5x^2\), а \(-f(x) = -x^3 + 0{,}5x^2\). Отсюда \(f(-x) \ne f(x)\) и \(f(-x) \ne -f(x)\), то есть данная функция не является ни чётной, ни нечётной.

3—4. Имеем: \(f(x) = x^3 - 0{,}5x^2 = x^2\,(x - 0{,}5)\). Числа 0 и \(0{,}5\) являются нулями функции \(f\). Множитель \(x^2\) положителен при всех \(x \ne 0\), поэтому знак значения функции совпадает со знаком разности \(x - 0{,}5\). Следовательно, \(f(x) < 0\) при \(x \in (-\infty;\ 0)\) и при \(x \in (0;\ 0{,}5)\), \(f(x) > 0\) при \(x \in (0{,}5;\ +\infty)\).

5—6. Имеем: \(f'(x) = 3x^2 - x = x\,(3x - 1)\). Нулями производной являются числа 0 и \(\frac{1}{3}\); они разбивают область определения на промежутки \((-\infty;\ 0)\), \(\left(0;\ \frac{1}{3}\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ +\infty\right)\). Определим знак производной пробными точками: \(f'(-1) = 3 + 1 = 4 > 0\), \(f'\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{16} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{16} < 0\), \(f'(1) = 3 - 1 = 2 > 0\).

Следовательно, функция \(f\) возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0]\) и \(\left[\frac{1}{3};\ +\infty\right)\) и убывает на промежутке \(\left[0;\ \frac{1}{3}\right]\). В точке 0 производная меняет знак с плюса на минус, в точке \(\frac{1}{3}\) — с минуса на плюс, поэтому \(x_{\max} = 0\), \(x_{\min} = \frac{1}{3}\). Имеем: \(f(0) = 0\), \(f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{27} - \frac{1}{18} = \frac{2}{54} - \frac{3}{54} = -\frac{1}{54}\).

7. Имеем: \(f''(x) = 6x - 1\). Неравенство \(f''(x) \leqslant 0\) выполняется при \(x \leqslant \frac{1}{6}\), неравенство \(f''(x) \geqslant 0\) — при \(x \geqslant \frac{1}{6}\). Значит, функция \(f\) является выпуклой вверх на промежутке \(\left(-\infty;\ \frac{1}{6}\right]\) и выпуклой вниз на промежутке \(\left[\frac{1}{6};\ +\infty\right)\). Характер выпуклости на этих промежутках разный, а касательная в точке с абсциссой \(\frac{1}{6}\) существует, поэтому \(x_0 = \frac{1}{6}\) является точкой перегиба; \(f\left(\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{216} - \frac{1}{72} = \frac{1}{216} - \frac{3}{216} = -\frac{1}{108}\).

Все характерные значения функции малы по модулю, поэтому окно чертежа берём узким по обеим осям — иначе яма между точкой максимума и точкой минимума сольётся с осью абсцисс.

Учитывая полученные результаты, строим график функции.

Ответ: \(D(f) = \mathbf{R}\); функция не является ни чётной, ни нечётной; нули функции — числа 0 и \(0{,}5\); \(f(x) < 0\) на промежутках \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ 0{,}5)\), \(f(x) > 0\) на промежутке \((0{,}5;\ +\infty)\); функция возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0]\) и \(\left[\frac{1}{3};\ +\infty\right)\) и убывает на промежутке \(\left[0;\ \frac{1}{3}\right]\); \(x_{\max} = 0\), \(f(0) = 0\); \(x_{\min} = \frac{1}{3}\), \(f\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{54}\); функция выпукла вверх на промежутке \(\left(-\infty;\ \frac{1}{6}\right]\) и выпукла вниз на промежутке \(\left[\frac{1}{6};\ +\infty\right)\); точка перегиба — \(\left(\frac{1}{6};\ -\frac{1}{108}\right)\).