Контрольная работа 9 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Функция определена и дифференцируема на множестве действительных чисел: \[f'(x) = \left(x^3 - x^2 - 5x - 3\right)' = 3x^2 - 2x - 5 = (x + 1)(3x - 5).\]

Производная обращается в нуль при \(x = -1\) и при \(x = \frac{5}{3}\). Определим её знак пробными точками: \(f'(-2) = 12 + 4 - 5 = 11 > 0\), \(f'(0) = -5 < 0\), \(f'(2) = 12 - 4 - 5 = 3 > 0\).

Исследовав знак производной, приходим к выводу, что функция \(f\) возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ -1]\) и \(\left[\frac{5}{3};\ +\infty\right)\) и убывает на промежутке \(\left[-1;\ \frac{5}{3}\right]\). При переходе через точку \(x = -1\) производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку \(x = \frac{5}{3}\) — с минуса на плюс, поэтому \(x_{\max} = -1\), \(x_{\min} = \frac{5}{3}\).

2) Область определения задаётся неравенством \(9 - x \geqslant 0\), то есть \(D(f) = (-\infty;\ 9]\).

По правилу дифференцирования произведения и по теореме о производной сложной функции при \(x < 9\) получаем: \[\begin{aligned} &f'(x) = \left(x\sqrt{9 - x}\right)' = \sqrt{9 - x} + x \cdot \frac{(9 - x)'}{2\sqrt{9 - x}} = {} \\ &= \sqrt{9 - x} - \frac{x}{2\sqrt{9 - x}} = \frac{2(9 - x) - x}{2\sqrt{9 - x}} = \frac{18 - 3x}{2\sqrt{9 - x}}. \end{aligned}\]

Заметим, что в точке \(x = 9\) функция \(f\) не является дифференцируемой, однако является непрерывной.

При \(x < 9\) знаменатель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком выражения \(18 - 3x\): производная положительна при \(x < 6\) и отрицательна при \(6 < x < 9\).

Исследовав знак производной, приходим к выводу, что функция \(f\) возрастает на промежутке \((-\infty;\ 6]\) и убывает на промежутке \([6;\ 9]\). При переходе через точку \(x = 6\) производная меняет знак с плюса на минус, поэтому \(x_{\max} = 6\). Точек минимума функция не имеет: точка \(x = 9\) — конец области определения, а точки экстремума являются внутренними точками области определения.

3) Функция определена и дифференцируема на множестве действительных чисел: \[f'(x) = \left(\sqrt{3}\,x - 2\cos x\right)' = \sqrt{3} + 2\sin x.\]

Неравенство \(f'(x) > 0\) равносильно неравенству \(\sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}\), множество решений которого — промежутки \(\left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n;\ \frac{4\pi}{3} + 2\pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\). Неравенство \(f'(x) < 0\) равносильно неравенству \(\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}\), множество решений которого — промежутки \(\left(\frac{4\pi}{3} + 2\pi n;\ \frac{5\pi}{3} + 2\pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Функция \(f\) непрерывна на множестве действительных чисел, поэтому концы этих промежутков включаются: функция возрастает на каждом из промежутков \(\left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n;\ \frac{4\pi}{3} + 2\pi n\right]\) и убывает на каждом из промежутков \(\left[\frac{4\pi}{3} + 2\pi n;\ \frac{5\pi}{3} + 2\pi n\right]\), \(n \in \mathbf{Z}\).

При переходе через точки \(\frac{4\pi}{3} + 2\pi n\) производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точки \(\frac{5\pi}{3} + 2\pi n\) — с минуса на плюс. Значит, \(x_{\max} = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n\), \(x_{\min} = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Ответ: 1) функция возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ -1]\) и \(\left[\frac{5}{3};\ +\infty\right)\), убывает на промежутке \(\left[-1;\ \frac{5}{3}\right]\), \(x_{\max} = -1\), \(x_{\min} = \frac{5}{3}\); 2) функция возрастает на промежутке \((-\infty;\ 6]\), убывает на промежутке \([6;\ 9]\), \(x_{\max} = 6\), точек минимума нет; 3) функция возрастает на каждом из промежутков \(\left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n;\ \frac{4\pi}{3} + 2\pi n\right]\), убывает на каждом из промежутков \(\left[\frac{4\pi}{3} + 2\pi n;\ \frac{5\pi}{3} + 2\pi n\right]\), \(x_{\max} = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n\), \(x_{\min} = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Функция \(f\) непрерывна на отрезке \([-1;\ 4]\). По определению модуля \(|x - 3| = 3 - x\) при \(x \leqslant 3\) и \(|x - 3| = x - 3\) при \(x \geqslant 3\). Значит, на промежутке \([-1;\ 3]\) имеем \(f(x) = 3x^2 - x^3\), а на промежутке \([3;\ 4]\) — \(f(x) = x^3 - 3x^2\).

Найдём критические точки функции \(f\), принадлежащие отрезку \([-1;\ 4]\).

При \(-1 < x < 3\) имеем \(f'(x) = 6x - 3x^2 = 3x(2 - x)\), поэтому производная обращается в нуль при \(x = 0\) и при \(x = 2\).

При \(3 < x < 4\) имеем \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\); оба множителя положительны, поэтому \(f'(x) > 0\) и нулей производная здесь не имеет.

В точке \(x = 3\) производной у функции \(f\) нет: производная функции \(y = 3x^2 - x^3\) в этой точке равна \(6 \cdot 3 - 3 \cdot 3^2 = -9\), а производная функции \(y = x^3 - 3x^2\) равна \(3 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 = 9\), поэтому отношение \(\frac{\Delta f}{\Delta x}\) при \(\Delta x \to 0\) ни к какому одному числу не стремится. Точка \(x = 3\) — внутренняя точка области определения, значит, она тоже критическая.

Следовательно, отрезку \([-1;\ 4]\) принадлежат три критические точки: \(x = 0\), \(x = 2\) и \(x = 3\).

Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка. Имеем: \(f(-1) = (-1)^2 \cdot |-1 - 3| = 4\), \(f(0) = 0\), \(f(2) = 2^2 \cdot |2 - 3| = 4\), \(f(3) = 3^2 \cdot 0 = 0\), \(f(4) = 4^2 \cdot |4 - 3| = 16\).

Следовательно, \(\max\limits_{[-1;\ 4]} f(x) = f(4) = 16\), \(\min\limits_{[-1;\ 4]} f(x) = f(0) = f(3) = 0\): наибольшее значение достигается на конце отрезка, а наименьшее — в двух точках.

Ответ: наибольшее значение равно \(16\), наименьшее значение равно \(0\).

Пусть искомое число равно \(x\), причём \(x > 0\). Утроенный квадрат этого числа равен \(3x^2\), его удвоенный куб равен \(2x^3\), поэтому разность между ними равна \(3x^2 - 2x^3\).

Рассмотрим функцию \(f(x) = 3x^2 - 2x^3\) на промежутке \((0;\ +\infty)\) и найдём, при каком значении \(x\) она принимает наибольшее значение.

Имеем: \(f'(x) = 6x - 6x^2 = 6x(1 - x)\). При \(0 < x < 1\) оба множителя положительны, поэтому \(f'(x) > 0\); при \(x > 1\) множитель \(1 - x\) отрицателен, поэтому \(f'(x) < 0\).

Исследовав знак производной, приходим к выводу, что функция \(f\) возрастает на промежутке \((0;\ 1]\) и убывает на промежутке \([1;\ +\infty)\). При переходе через точку \(x = 1\) производная меняет знак с плюса на минус, поэтому \(x_{\max} = 1\).

Отсюда для любого положительного значения \(x\) выполняется неравенство \(f(x) \leqslant f(1)\), то есть наибольшее значение функция \(f\) принимает при \(x = 1\). Значит, искомое число равно \(1\) (при этом \(f(1) = 3 - 2 = 1\)).

Ответ: \(1\).

1. Функция определена на множестве действительных чисел, то есть \(D\,(f) = \mathbf{R}\).

2. Имеем: \(f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 = -x^3 - 3x^2\). Отсюда \(f(-x) \ne f(x)\) и \(f(-x) \ne -f(x)\), то есть данная функция не является ни чётной, ни нечётной.

3—4. Имеем: \(f(x) = x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3)\). Числа \(0\) и \(3\) являются нулями функции \(f\).

Множитель \(x^2\) положителен при \(x \ne 0\), поэтому знак функции совпадает со знаком выражения \(x - 3\) и при переходе через точку \(x = 0\) не меняется. Значит, \(f(x) < 0\) на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ 3)\), \(f(x) > 0\) на промежутке \((3;\ +\infty)\).

5—6. Имеем: \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\). Производная положительна при \(x < 0\) и при \(x > 2\), отрицательна при \(0 < x < 2\).

Исследовав знак производной, приходим к выводу, что функция \(f\) возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0]\) и \([2;\ +\infty)\), убывает на промежутке \([0;\ 2]\), \(x_{\max} = 0\), \(x_{\min} = 2\). Имеем: \(f(0) = 0\), \(f(2) = 8 - 12 = -4\).

7. Имеем: \(f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)\). Вторая производная отрицательна при \(x < 1\) и положительна при \(x > 1\), поэтому функция \(f\) является выпуклой вверх на промежутке \((-\infty;\ 1]\) и выпуклой вниз на промежутке \([1;\ +\infty)\).

Функция \(f\) дифференцируема на множестве действительных чисел, поэтому в точке с абсциссой \(x = 1\) к её графику можно провести касательную; характер выпуклости в этой точке меняется, следовательно, \(x = 1\) является точкой перегиба функции \(f\). Имеем: \(f(1) = 1 - 3 = -2\).

Учитывая полученные результаты, строим график функции.

Ответ: \(D\,(f) = \mathbf{R}\); функция не является ни чётной, ни нечётной; нули функции \(x = 0\) и \(x = 3\); \(f(x) < 0\) на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ 3)\), \(f(x) > 0\) на промежутке \((3;\ +\infty)\); функция возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0]\) и \([2;\ +\infty)\), убывает на промежутке \([0;\ 2]\); \(x_{\max} = 0\), \(f(0) = 0\); \(x_{\min} = 2\), \(f(2) = -4\); функция выпуклая вверх на промежутке \((-\infty;\ 1]\) и выпуклая вниз на промежутке \([1;\ +\infty)\); точка перегиба \((1;\ -2)\).

При любом значении параметра функция \(f\) определена и дифференцируема на множестве действительных чисел, причём \[f'(x) = \left(\frac{ax^3}{3} - 3ax^2 + a^2x\right)' = ax^2 - 6ax + a^2.\]

Точки экстремума следует искать среди критических точек, а функция \(f\) дифференцируема всюду, поэтому если точка \(x_0 = 2\) является точкой максимума, то \(f'(2) = 0\). Получаем: \[4a - 12a + a^2 = 0;\quad a^2 - 8a = 0;\quad a\,(a - 8) = 0.\] Отсюда \(a = 0\) или \(a = 8\). Равенство \(f'(2) = 0\) — условие необходимое, но не достаточное, поэтому каждое из найденных значений надо проверить.

Пусть \(a = 8\). Тогда \(f'(x) = 8x^2 - 48x + 64 = 8\left(x^2 - 6x + 8\right) = 8(x - 2)(x - 4)\). При \(x < 2\) множители \(x - 2\) и \(x - 4\) отрицательны, их произведение положительно, поэтому \(f'(x) > 0\); при \(2 < x < 4\) множитель \(x - 2\) положителен, а множитель \(x - 4\) отрицателен, поэтому \(f'(x) < 0\). При переходе через точку \(x_0 = 2\) производная меняет знак с плюса на минус, значит, точка \(x_0 = 2\) является точкой максимума.

Пусть \(a = 0\). Тогда \(f(x) = 0\) при всех значениях \(x\), то есть функция \(f\) является константой. Возьмём любую окрестность точки \(x_0 = 2\): для каждого \(x\) из этой окрестности выполняется равенство \(f(x) = f(2) = 0\), а значит, выполняется и нестрогое неравенство \(f(2) \geqslant f(x)\). По определению точки максимума точка \(x_0 = 2\) является точкой максимума функции \(f\) (для постоянной функции любая внутренняя точка промежутка постоянства — одновременно и точка максимума, и точка минимума).

Оба найденных значения параметра подходят.

Ответ: \(a = 0\); \(a = 8\).