Контрольная работа 2 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Пусть \(f(x) = x^2 - 2x - 3\). Выделим полный квадрат: \[f(x) = x^2 - 2x + 1 - 4 = (x - 1)^2 - 4.\] Графиком функции является парабола с вершиной в точке \((1;\ -4)\), ветви которой направлены вверх. Такая функция убывает на промежутке \((-\infty;\ 1]\) и возрастает на промежутке \([1;\ +\infty)\).

Число 1 лежит внутри промежутка \([-1;\ 2]\), поэтому на промежутке \([-1;\ 1]\) функция убывает, а на промежутке \([1;\ 2]\) возрастает.

При любом значении переменной выполняется неравенство \((x - 1)^2 \geqslant 0\), поэтому \(f(x) \geqslant -4\), причём \(f(1) = -4\) и число 1 промежутку \([-1;\ 2]\) принадлежит. Значит, \(\min\limits_{[-1;\ 2]} f(x) = f(1) = -4\).

Наибольшее значение функция принимает на одном из концов промежутка: на промежутке \([-1;\ 1]\) она убывает, поэтому наибольшим её значением здесь является \(f(-1)\), а на промежутке \([1;\ 2]\) она возрастает, поэтому наибольшим её значением здесь является \(f(2)\). Имеем: \(f(-1) = (-1 - 1)^2 - 4 = 4 - 4 = 0\) и \(f(2) = (2 - 1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3\). Так как \(0 > -3\), то \(\max\limits_{[-1;\ 2]} f(x) = f(-1) = 0\).

Ответ: наибольшее значение \(\max\limits_{[-1;\ 2]} f(x) = f(-1) = 0\), наименьшее значение \(\min\limits_{[-1;\ 2]} f(x) = f(1) = -4\).

1) Пусть \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 3\). Выражение имеет смысл при любом значении переменной, поэтому \(D(f) = \mathbf{R}\), и область определения симметрична относительно начала координат.

Для любого \(x \in D(f)\) имеем: \[f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3 = x^4 - 2x^2 + 3 = f(x).\] Следовательно, функция чётная.

2) Пусть \(f(x) = \dfrac{2x}{5 - x^2}\). Дробь имеет смысл при \(5 - x^2 \ne 0\), то есть при \(x \ne -\sqrt{5}\) и \(x \ne \sqrt{5}\). Значит \[D(f) = \left(-\infty;\ -\sqrt{5}\right) \cup \left(-\sqrt{5};\ \sqrt{5}\right) \cup \left(\sqrt{5};\ +\infty\right).\] Вместе с каждым числом \(x_0\) эта область содержит и число \(-x_0\), то есть она симметрична относительно начала координат.

Для любого \(x \in D(f)\) имеем: \[f(-x) = \frac{2(-x)}{5 - (-x)^2} = -\frac{2x}{5 - x^2} = -f(x).\] Следовательно, функция нечётная.

3) Пусть \(f(x) = \dfrac{x + 2}{x^2 + 2x}\). Дробь имеет смысл при \(x^2 + 2x \ne 0\), то есть при \(x\,(x + 2) \ne 0\), откуда \(x \ne 0\) и \(x \ne -2\). Значит \[D(f) = (-\infty;\ -2) \cup (-2;\ 0) \cup (0;\ +\infty).\] Число 2 области определения принадлежит, а число \(-2\) ей не принадлежит, поэтому область определения не является симметричной относительно начала координат. Если область определения функции не является симметричной относительно начала координат, то эта функция не может быть чётной (нечётной).

Заметим, что сокращать дробь на \(x + 2\) до нахождения области определения нельзя: у функции \(y = \dfrac{1}{x}\) область определения другая, и это уже другая функция.

Ответ: 1) функция \(y = x^4 - 2x^2 + 3\) чётная; 2) функция \(y = \dfrac{2x}{5 - x^2}\) нечётная; 3) функция \(y = \dfrac{x + 2}{x^2 + 2x}\) не является ни чётной, ни нечётной.

Пусть \(f(x) = 9 - 3x\). Это линейная функция с угловым коэффициентом \(-3\), она убывает на всей области определения, а убывающая функция обратима. Значит, функция, обратная к данной, существует. При этом \(D(f) = \mathbf{R}\) и \(E(f) = \mathbf{R}\).

Чтобы задать обратную функцию, надо указать правило, позволяющее по каждому значению переменной \(y\) найти такое значение переменной \(x\), что \(y = 9 - 3x\). Имеем: \(3x = 9 - y\), откуда \[x = \frac{9 - y}{3}.\] Полученное равенство задаёт функцию с аргументом \(y\) и зависимой переменной \(x\). Традиционно независимую переменную обозначают буквой \(x\), а зависимую — буквой \(y\). В этих обозначениях искомая функция задаётся формулой \(y = \dfrac{9 - x}{3}\).

Для обратной функции \(g\) имеем: \(D(g) = E(f) = \mathbf{R}\) и \(E(g) = D(f) = \mathbf{R}\).

Ответ: \(y = \dfrac{9 - x}{3}\), то есть \(y = 3 - \dfrac{x}{3}\).

Область определения функции задаётся неравенством \(3|x| - 2 \geqslant 0\), то есть \(|x| \geqslant \dfrac{2}{3}\). Ему удовлетворяют числа \(x \leqslant -\dfrac{2}{3}\) и числа \(x \geqslant \dfrac{2}{3}\), поэтому \[D(y) = \left(-\infty;\ -\frac{2}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3};\ +\infty\right).\] Построение графика проведём по такой схеме: \[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{x - 2} \ \rightarrow \ y = \sqrt{3x - 2} \ \rightarrow \ y = \sqrt{3|x| - 2}.\] Первое преобразование — сдвиг вправо на 2 ед., второе — сжатие в 3 раза к оси ординат. При третьем преобразовании та часть графика функции \(y = \sqrt{3x - 2}\), точки которой имеют неотрицательные абсциссы, остаётся без изменений, и к ней добавляется фигура, симметричная ей относительно оси ординат.

Функция \(y = \sqrt{3|x| - 2}\) чётная, поэтому ось ординат является осью симметрии её графика. Обе ветви графика начинаются в точках \(\left(-\dfrac{2}{3};\ 0\right)\) и \(\left(\dfrac{2}{3};\ 0\right)\), которые графику принадлежат, и поднимаются вверх, всё более полого.

1) Числа \(-9\), \(-1\) и 11 являются нулями функции \(f(x) = (x + 1)(x - 11)(x + 9)\), непрерывной на \(D(f) = \mathbf{R}\). Поэтому эти числа разбивают множество \(\mathbf{R}\) на промежутки знакопостоянства функции \(f\): \((-\infty;\ -9)\), \((-9;\ -1)\), \((-1;\ 11)\), \((11;\ +\infty)\).

С помощью «пробных точек» определим знаки функции \(f\) на этих промежутках:

\(-10 \in (-\infty;\ -9)\); \(f(-10) = (-9) \cdot (-21) \cdot (-1) < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -9)\);

\(-5 \in (-9;\ -1)\); \(f(-5) = (-4) \cdot (-16) \cdot 4 > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (-9;\ -1)\);

\(0 \in (-1;\ 11)\); \(f(0) = 1 \cdot (-11) \cdot 9 < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-1;\ 11)\);

\(12 \in (11;\ +\infty)\); \(f(12) = 13 \cdot 1 \cdot 21 > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (11;\ +\infty)\).

Неравенство строгое, поэтому нули функции в множество решений не входят, и множеством решений является \((-9;\ -1) \cup (11;\ +\infty)\).

2) Числа 5, 6 и 8 являются нулями функции \(f(x) = (5 - x)(x - 8)(x - 6)^2\), непрерывной на \(D(f) = \mathbf{R}\). Они разбивают множество \(\mathbf{R}\) на промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ 5)\), \((5;\ 6)\), \((6;\ 8)\), \((8;\ +\infty)\).

С помощью «пробных точек» определим знаки функции \(f\) на этих промежутках:

\(0 \in (-\infty;\ 5)\); \(f(0) = 5 \cdot (-8) \cdot 36 < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ 5)\);

\(5{,}5 \in (5;\ 6)\); \(f(5{,}5) = (-0{,}5) \cdot (-2{,}5) \cdot 0{,}25 > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (5;\ 6)\);

\(7 \in (6;\ 8)\); \(f(7) = (-2) \cdot (-1) \cdot 1 > 0\), поэтому \(f(x) > 0\) при любом \(x \in (6;\ 8)\);

\(9 \in (8;\ +\infty)\); \(f(9) = (-4) \cdot 1 \cdot 9 < 0\), поэтому \(f(x) < 0\) при любом \(x \in (8;\ +\infty)\).

Множеством решений неравенства \(f(x) < 0\) является \((-\infty;\ 5) \cup (8;\ +\infty)\). Неравенство нестрогое, поэтому к нему добавляются все корни уравнения \(f(x) = 0\), то есть числа 5, 6 и 8. Число 6 входит в множество решений отдельной точкой: в ней произведение равно нулю, а в соседних точках оно положительно. Значит, множеством решений является \((-\infty;\ 5] \cup \{6\} \cup [8;\ +\infty)\).

3) Так как \(x^2 + 3x = x\,(x + 3)\), областью допустимых значений неравенства являются все числа, для которых \(x \ne 0\) и \(x \ne -3\).

Приведём левую часть к общему знаменателю \(x\,(x + 3)\): \[\frac{x}{x + 3} + \frac{5}{x} - \frac{9}{x^2 + 3x} = \frac{x^2 + 5(x + 3) - 9}{x\,(x + 3)} = \frac{x^2 + 5x + 6}{x\,(x + 3)} = \frac{(x + 2)(x + 3)}{x\,(x + 3)}.\] На области допустимых значений \(x + 3 \ne 0\), поэтому дробь можно сократить на \(x + 3\), и данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} \dfrac{x + 2}{x} \geqslant 0, \\ x \ne -3. \end{cases}\] Число \(-2\) — нуль функции \(g(x) = \dfrac{x + 2}{x}\), непрерывной на \(D(g) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\). Поэтому числа \(-2\) и 0 разбивают область определения на промежутки знакопостоянства \((-\infty;\ -2)\), \((-2;\ 0)\), \((0;\ +\infty)\).

С помощью «пробных точек» определим знаки функции \(g\) на этих промежутках:

\(-4 \in (-\infty;\ -2)\); \(g(-4) = \dfrac{-2}{-4} > 0\), поэтому \(g(x) > 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -2)\);

\(-1 \in (-2;\ 0)\); \(g(-1) = \dfrac{1}{-1} < 0\), поэтому \(g(x) < 0\) при любом \(x \in (-2;\ 0)\);

\(1 \in (0;\ +\infty)\); \(g(1) = \dfrac{3}{1} > 0\), поэтому \(g(x) > 0\) при любом \(x \in (0;\ +\infty)\).

Неравенство \(g(x) \geqslant 0\) выполняется на множестве \((-\infty;\ -2] \cup (0;\ +\infty)\) (число \(-2\) — корень уравнения \(g(x) = 0\), а число 0 в область определения не входит). Остаётся исключить число \(-3\), и множеством решений будет \((-\infty;\ -3) \cup (-3;\ -2] \cup (0;\ +\infty)\).

Ответ: 1) \((-9;\ -1) \cup (11;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ 5] \cup \{6\} \cup [8;\ +\infty)\); 3) \((-\infty;\ -3) \cup (-3;\ -2] \cup (0;\ +\infty)\).

Рассмотрим функции \(f(x) = \bigl|3|x| - 1\bigr|\) и \(g(x) = x - a\). Задача сводится к тому, чтобы найти те значения параметра \(a\), при которых графики функций \(f\) и \(g\) имеют ровно одну общую точку.

График функции \(f\) получают по такой схеме: \[y = 3x - 1 \ \rightarrow \ y = 3|x| - 1 \ \rightarrow \ y = \bigl|3|x| - 1\bigr|.\] Раскрыв модули, запишем функцию \(f\) по промежуткам: \[f(x) = \begin{cases} -3x - 1, \text{ если } x \leqslant -\frac{1}{3}, \\ 3x + 1, \text{ если } -\frac{1}{3} \leqslant x \leqslant 0, \\ 1 - 3x, \text{ если } 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{3}, \\ 3x - 1, \text{ если } x \geqslant \frac{1}{3}. \end{cases}\] Графиком функции \(f\) является ломаная с нулями \(-\dfrac{1}{3}\) и \(\dfrac{1}{3}\); наибольшее значение на промежутке \(\left[-\dfrac{1}{3};\ \dfrac{1}{3}\right]\) она принимает в точке \((0;\ 1)\). Графиком функции \(g\) является прямая с угловым коэффициентом 1; при изменении параметра \(a\) эта прямая перемещается параллельно самой себе.

Выясним, при каких значениях параметра прямая имеет общую точку с каждым из четырёх звеньев ломаной.

Луч \(y = 3x - 1\), где \(x \geqslant \dfrac{1}{3}\): из уравнения \(3x - 1 = x - a\) получаем \(x = \dfrac{1 - a}{2}\), и условие \(\dfrac{1 - a}{2} \geqslant \dfrac{1}{3}\) выполняется при \(a \leqslant \dfrac{1}{3}\).

Отрезок \(y = 1 - 3x\), где \(0 \leqslant x \leqslant \dfrac{1}{3}\): из уравнения \(1 - 3x = x - a\) получаем \(x = \dfrac{1 + a}{4}\), и условие \(0 \leqslant \dfrac{1 + a}{4} \leqslant \dfrac{1}{3}\) выполняется при \(-1 \leqslant a \leqslant \dfrac{1}{3}\).

Отрезок \(y = 3x + 1\), где \(-\dfrac{1}{3} \leqslant x \leqslant 0\): из уравнения \(3x + 1 = x - a\) получаем \(x = -\dfrac{1 + a}{2}\), и условие \(-\dfrac{1}{3} \leqslant -\dfrac{1 + a}{2} \leqslant 0\) выполняется при \(-1 \leqslant a \leqslant -\dfrac{1}{3}\).

Луч \(y = -3x - 1\), где \(x \leqslant -\dfrac{1}{3}\): из уравнения \(-3x - 1 = x - a\) получаем \(x = \dfrac{a - 1}{4}\), и условие \(\dfrac{a - 1}{4} \leqslant -\dfrac{1}{3}\) выполняется при \(a \leqslant -\dfrac{1}{3}\).

Сравним полученные условия.

При \(a > \dfrac{1}{3}\) не выполняется ни одно из них — общих точек нет.

При \(a = \dfrac{1}{3}\) выполняются только первые два условия, и оба дают одну и ту же точку \(x = \dfrac{1}{3}\) — общая точка ровно одна.

При \(-\dfrac{1}{3} \leqslant a < \dfrac{1}{3}\) выполнены, в частности, первые два условия, причём они дают разные точки: равенство \(\dfrac{1 - a}{2} = \dfrac{1 + a}{4}\) верно только при \(a = \dfrac{1}{3}\). Значит, общих точек не меньше двух.

При \(a < -\dfrac{1}{3}\) выполнены, в частности, первое и четвёртое условия, и они дают разные точки: \(\dfrac{1 - a}{2} > 0\), а \(\dfrac{a - 1}{4} < 0\). Значит, и здесь общих точек не меньше двух.

Следовательно, ровно один корень уравнение имеет только при \(a = \dfrac{1}{3}\).

Проверка: при \(a = \dfrac{1}{3}\) уравнение принимает вид \(\bigl|3|x| - 1\bigr| = x - \dfrac{1}{3}\); при \(x = \dfrac{1}{3}\) его левая часть равна \(|1 - 1| = 0\) и правая часть равна \(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} = 0\).

Построим график функции \(f\) и прямую \(y = x - \dfrac{1}{3}\), отвечающую найденному значению параметра.

Ответ: \(a = \dfrac{1}{3}\).