Контрольная работа 10 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Степень с рациональным показателем определена для положительного основания, а нуль в положительной рациональной степени равен нулю. Поэтому данное выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\).

Раскроем скобки, применив свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями и формулу квадрата суммы: \[\begin{aligned} &a^{\frac{1}{4}}\left(a^{\frac{1}{4}} - 2\right) - \left(a^{\frac{1}{4}} + 2\right)^2 = {} \\ &= a^{\frac{1}{2}} - 2a^{\frac{1}{4}} - \left(a^{\frac{1}{2}} + 4a^{\frac{1}{4}} + 4\right) = {} \\ &= a^{\frac{1}{2}} - 2a^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{2}} - 4a^{\frac{1}{4}} - 4 = -6a^{\frac{1}{4}} - 4. \end{aligned}\]

Ответ: \(-6a^{\frac{1}{4}} - 4\) при \(a \geqslant 0\).

Корень квадратный определён только при неотрицательном подкоренном выражении, поэтому область определения функции \(f\) задаётся неравенством \[\frac{9 - x^2}{x^2 - 6x + 8} \geqslant 0.\]

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: \(9 - x^2 = (3 - x)(3 + x)\), а \(x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)\). Значит, надо решить неравенство \[\frac{(3 - x)(3 + x)}{(x - 2)(x - 4)} \geqslant 0.\]

Рассмотрим функцию \(g(x) = \dfrac{(3 - x)(3 + x)}{(x - 2)(x - 4)}\). Она является частным многочленов, поэтому непрерывна на своей области определения \((-\infty;\ 2) \cup (2;\ 4) \cup (4;\ +\infty)\). Нулями функции \(g\) являются числа \(-3\) и 3. Поэтому промежутками знакопостоянства функции \(g\) будут \((-\infty;\ -3)\), \((-3;\ 2)\), \((2;\ 3)\), \((3;\ 4)\), \((4;\ +\infty)\).

С помощью «пробных точек» определим знаки функции \(g\) на этих промежутках. Имеем:

\(-4 \in (-\infty;\ -3)\); \(g(-4) = \frac{7 \cdot (-1)}{(-6) \cdot (-8)} = -\frac{7}{48} < 0\), поэтому \(g(x) < 0\) при любом \(x \in (-\infty;\ -3)\);

\(0 \in (-3;\ 2)\); \(g(0) = \frac{3 \cdot 3}{(-2) \cdot (-4)} = \frac{9}{8} > 0\), поэтому \(g(x) > 0\) при любом \(x \in (-3;\ 2)\);

\(2{,}5 \in (2;\ 3)\); \(g(2{,}5) = \frac{0{,}5 \cdot 5{,}5}{0{,}5 \cdot (-1{,}5)} = -\frac{11}{3} < 0\), поэтому \(g(x) < 0\) при любом \(x \in (2;\ 3)\);

\(3{,}5 \in (3;\ 4)\); \(g(3{,}5) = \frac{(-0{,}5) \cdot 6{,}5}{1{,}5 \cdot (-0{,}5)} = \frac{13}{3} > 0\), поэтому \(g(x) > 0\) при любом \(x \in (3;\ 4)\);

\(5 \in (4;\ +\infty)\); \(g(5) = \frac{(-2) \cdot 8}{3 \cdot 1} = -\frac{16}{3} < 0\), поэтому \(g(x) < 0\) при любом \(x \in (4;\ +\infty)\).

Неравенство нестрогое, поэтому к промежуткам \((-3;\ 2)\) и \((3;\ 4)\) надо добавить нули функции \(g\) — числа \(-3\) и 3: в обеих точках знаменатель дроби в нуль не обращается, значит, обе они принадлежат области определения функции \(f\). Числа 2 и 4 обращают знаменатель в нуль, поэтому в область определения они не входят.

Ответ: \(D(f) = [-3;\ 2) \cup [3;\ 4)\).

1) \(\sqrt{2x - 1} = x - 2\).

Уравнение вида \(\sqrt{f(x)} = g(x)\) равносильно системе, в которой обе части возведены в квадрат, а правая часть неотрицательна: \[\begin{cases} 2x - 1 = (x - 2)^2, \\ x - 2 \geqslant 0. \end{cases}\] Отсюда \[\begin{cases} 2x - 1 = x^2 - 4x + 4, \\ x \geqslant 2; \end{cases} \quad \begin{cases} x^2 - 6x + 5 = 0, \\ x \geqslant 2; \end{cases} \quad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 1, \\ x = 5, \end{array}\right. \\ x \geqslant 2. \end{cases}\] Число 1 условию \(x \geqslant 2\) не удовлетворяет, поэтому корень уравнения только один: \(x = 5\).

2) \(8\sin^2 2x + 3\sin 4x = 7\).

По формуле синуса двойного угла \(\sin 4x = 2\sin 2x\cos 2x\), а правую часть по основному тригонометрическому тождеству запишем в виде \(7\left(\sin^2 2x + \cos^2 2x\right)\). Получаем: \[8\sin^2 2x + 6\sin 2x\cos 2x = 7\sin^2 2x + 7\cos^2 2x;\] \[\sin^2 2x + 6\sin 2x\cos 2x - 7\cos^2 2x = 0.\] Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени относительно \(\sin 2x\) и \(\cos 2x\). Если \(\cos 2x = 0\), то из полученного уравнения следует, что \(\sin 2x = 0\). Однако \(\sin 2x\) и \(\cos 2x\) не могут одновременно быть равными нулю, поскольку имеет место равенство \(\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1\). Следовательно, множество корней уравнения состоит из таких чисел \(x\), при которых \(\cos 2x \ne 0\), и деление обеих частей на \(\cos^2 2x\) даёт равносильное уравнение \[\mathrm{tg}^2\,2x + 6\,\mathrm{tg}\,2x - 7 = 0.\] Пусть \(\mathrm{tg}\,2x = t\). Тогда \(t^2 + 6t - 7 = 0\); \(D = 36 + 28 = 64\) — дискриминант положителен, корня два: \(t = \frac{-6 \pm 8}{2}\), то есть \(t = 1\) или \(t = -7\). С учётом замены получаем совокупность \[\left[\begin{array}{l} \mathrm{tg}\,2x = 1, \\ \mathrm{tg}\,2x = -7; \end{array}\right. \quad \left[\begin{array}{l} 2x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \\ 2x = -\mathrm{arctg}\,7 + \pi n,\ n \in \mathbf{Z}. \end{array}\right.\] Отсюда \[\left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \\ x = -\frac{1}{2}\,\mathrm{arctg}\,7 + \frac{\pi n}{2},\ n \in \mathbf{Z}. \end{array}\right.\] Здесь учтено, что арктангенс — нечётная функция, поэтому \(\mathrm{arctg}\,(-7) = -\mathrm{arctg}\,7\).

3) \(\mathrm{ctg}\,5x\cos x + \sin x - \sqrt{2}\cos 4x = 0\).

Котангенс определён при \(\sin 5x \ne 0\) — это и есть область определения уравнения.

Заменив \(\mathrm{ctg}\,5x = \frac{\cos 5x}{\sin 5x}\), сложим первые два слагаемых. Их сумма равна \[\frac{\cos 5x\cos x}{\sin 5x} + \sin x = \frac{\cos 5x\cos x + \sin 5x\sin x}{\sin 5x} = \frac{\cos 4x}{\sin 5x},\] поскольку по формуле косинуса разности \(\cos 5x\cos x + \sin 5x\sin x = \cos (5x - x) = \cos 4x\).

Уравнение принимает вид \(\frac{\cos 4x}{\sin 5x} - \sqrt{2}\cos 4x = 0\), то есть \[\frac{\cos 4x\left(1 - \sqrt{2}\sin 5x\right)}{\sin 5x} = 0.\] Дробь равна нулю тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. Значит, уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} \cos 4x = 0, \\ \sin 5x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \end{array}\right. \\ \sin 5x \ne 0. \end{cases}\]

Из уравнения \(\cos 4x = 0\) получаем \(4x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), то есть \(x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} = \frac{\pi\,(1 + 2n)}{8}\), \(n \in \mathbf{Z}\). Все эти числа условию \(\sin 5x \ne 0\) удовлетворяют. Действительно, равенство \(\sin 5x = 0\) означало бы, что \(5x = \pi m\) при некотором целом \(m\), то есть \(\frac{5\pi\,(1 + 2n)}{8} = \pi m\); отсюда \(5\,(1 + 2n) = 8m\), но слева стоит нечётное число, а справа — чётное, и такое равенство невозможно.

Из уравнения \(\sin 5x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) получаем \(5x = (-1)^k\frac{\pi}{4} + \pi k\), то есть \(x = (-1)^k\frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5}\), \(k \in \mathbf{Z}\). Здесь \(\sin 5x = \frac{\sqrt{2}}{2} \ne 0\), и второе условие системы тоже выполняется.

Ответ: 1) 5; 2) \(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}\); \(-\frac{1}{2}\,\mathrm{arctg}\,7 + \frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\); 3) \(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}\), \(n \in \mathbf{Z}\); \((-1)^k\frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5}\), \(k \in \mathbf{Z}\).

Обе части тождества определены при тех значениях \(\alpha\), при которых знаменатели дробей в нуль не обращаются: \(\sin 5\alpha \ne 0\), \(\cos 5\alpha \ne 0\), \(\sin 3\alpha \ne 0\). При этих значениях \(\alpha\) и будем преобразовывать левую часть.

Приведём разность в скобках к общему знаменателю. Числитель полученной дроби свернём по формуле синуса разности: \(\sin 8\alpha\cos 5\alpha - \cos 8\alpha\sin 5\alpha = \sin\,(8\alpha - 5\alpha) = \sin 3\alpha\), а знаменатель — по формуле синуса двойного угла: \(\sin 5\alpha\cos 5\alpha = \frac{1}{2}\sin 10\alpha\). Имеем: \[\frac{\sin 8\alpha}{\sin 5\alpha} - \frac{\cos 8\alpha}{\cos 5\alpha} = \frac{\sin 3\alpha}{\sin 5\alpha\cos 5\alpha} = \frac{2\sin 3\alpha}{\sin 10\alpha}.\]

Числитель второй дроби преобразуем по формуле суммы синусов; косинус — чётная функция, поэтому \(\cos\,(-4\alpha) = \cos 4\alpha\). Имеем: \[\sin 6\alpha + \sin 14\alpha = 2\sin\frac{6\alpha + 14\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha - 14\alpha}{2} = 2\sin 10\alpha\cos 4\alpha.\]

Остаётся перемножить полученные выражения: \[\frac{2\sin 3\alpha}{\sin 10\alpha} \cdot \frac{2\sin 10\alpha\cos 4\alpha}{\sin 3\alpha} = 4\cos 4\alpha.\]

Левая часть равенства преобразована в правую, значит, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано: \(\left(\dfrac{\sin 8\alpha}{\sin 5\alpha} - \dfrac{\cos 8\alpha}{\cos 5\alpha}\right) \cdot \dfrac{\sin 6\alpha + \sin 14\alpha}{\sin 3\alpha} = 4\cos 4\alpha\).

Неравенство вида \(\sqrt{f(x)} < g(x)\) равносильно системе из трёх условий: квадрат правой части больше подкоренного выражения, правая часть положительна, подкоренное выражение неотрицательно. Имеем: \[\begin{cases} 1 - 5x < (x + 1)^2, \\ x + 1 > 0, \\ 1 - 5x \geqslant 0. \end{cases}\] Первое неравенство системы даёт \(1 - 5x < x^2 + 2x + 1\), то есть \(x^2 + 7x > 0\); отсюда \(x\,(x + 7) > 0\), то есть \(x < -7\) или \(x > 0\). Получаем: \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} x < -7, \\ x > 0, \end{array}\right. \\ x > -1, \\ x \leqslant \frac{1}{5}. \end{cases}\] Числа, меньшие \(-7\), условию \(x > -1\) не удовлетворяют, поэтому эта ветвь решений отпадает. Остаётся пересечение промежутков \(x > 0\) и \(x \leqslant \frac{1}{5}\), то есть \(0 < x \leqslant \frac{1}{5}\). Правый конец входит в ответ: при \(x = \frac{1}{5}\) левая часть данного неравенства равна нулю, а правая равна \(1{,}2\).

Ответ: \(\left(0;\ \frac{1}{5}\right]\).

1. Функция определена на множестве действительных чисел, то есть \(D(f) = \mathbf{R}\).

2. Имеем: \(f(-x) = (-x)^3 - 6(-x)^2 = -x^3 - 6x^2\), а \(-f(x) = -x^3 + 6x^2\). Отсюда \(f(-x) \ne f(x)\) и \(f(-x) \ne -f(x)\), то есть данная функция не является ни чётной, ни нечётной.

3—4. Имеем: \(f(x) = x^3 - 6x^2 = x^2\,(x - 6)\). Числа 0 и 6 являются нулями функции \(f\). Множитель \(x^2\) положителен при всех \(x \ne 0\), поэтому знак значения функции совпадает со знаком разности \(x - 6\). Следовательно, \(f(x) < 0\) при \(x \in (-\infty;\ 0)\) и при \(x \in (0;\ 6)\), \(f(x) > 0\) при \(x \in (6;\ +\infty)\).

5—6. Имеем: \(f'(x) = 3x^2 - 12x = 3x\,(x - 4)\). Нулями производной являются числа 0 и 4; они разбивают область определения на промежутки \((-\infty;\ 0)\), \((0;\ 4)\), \((4;\ +\infty)\). Определим знак производной пробными точками: \(f'(-1) = 3 + 12 = 15 > 0\), \(f'(1) = 3 - 12 = -9 < 0\), \(f'(5) = 75 - 60 = 15 > 0\).

Следовательно, функция \(f\) возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0]\) и \([4;\ +\infty)\) и убывает на промежутке \([0;\ 4]\). В точке 0 производная меняет знак с плюса на минус, в точке 4 — с минуса на плюс, поэтому \(x_{\max} = 0\), \(x_{\min} = 4\). Имеем: \(f(0) = 0\), \(f(4) = 64 - 96 = -32\).

7. Имеем: \(f''(x) = 6x - 12\). Неравенство \(f''(x) \leqslant 0\) выполняется при \(x \leqslant 2\), неравенство \(f''(x) \geqslant 0\) — при \(x \geqslant 2\). Значит, функция \(f\) является выпуклой вверх на промежутке \((-\infty;\ 2]\) и выпуклой вниз на промежутке \([2;\ +\infty)\). Характер выпуклости на этих промежутках разный, а касательная в точке с абсциссой 2 существует, поэтому \(x_0 = 2\) является точкой перегиба; \(f(2) = 8 - 24 = -16\).

Учитывая полученные результаты, строим график функции.

Ответ: \(D(f) = \mathbf{R}\); функция не является ни чётной, ни нечётной; нули функции — числа 0 и 6; \(f(x) < 0\) на промежутках \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ 6)\), \(f(x) > 0\) на промежутке \((6;\ +\infty)\); функция возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0]\) и \([4;\ +\infty)\) и убывает на промежутке \([0;\ 4]\); \(x_{\max} = 0\), \(f(0) = 0\); \(x_{\min} = 4\), \(f(4) = -32\); функция выпукла вверх на промежутке \((-\infty;\ 2]\) и выпукла вниз на промежутке \([2;\ +\infty)\); точка перегиба — \((2;\ -16)\).