Контрольная работа 7 Вариант 2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Заменим \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\): \[4\left(1 - \cos^2 x\right) - 8\cos x + 1 = 0;\] \[4 - 4\cos^2 x - 8\cos x + 1 = 0;\quad 4\cos^2 x + 8\cos x - 5 = 0.\]

Пусть \(\cos x = t\). Тогда \(4t^2 + 8t - 5 = 0\); \(D = 64 + 80 = 144\) — дискриминант положителен, корня два: \[t_1 = \frac{-8 + 12}{8} = \frac{1}{2},\quad t_2 = \frac{-8 - 12}{8} = -\frac{5}{2}.\]

Областью значений функции \(y = \cos x\) является промежуток \([-1;\ 1]\), а \(-\frac{5}{2} < -1\), поэтому значение \(t_2 = -\frac{5}{2}\) корней не даёт. Остаётся уравнение \(\cos x = \frac{1}{2}\): \[x = \pm\arccos\frac{1}{2} + 2\pi n,\ n \in \mathbf{Z};\quad x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n.\]

2) По формуле синуса двойного аргумента \(\sin 4x = 2\sin 2x\cos 2x\) (двойной аргумент здесь берётся к \(2x\)), поэтому \(2\sin 4x = 4\sin 2x\cos 2x\). Кроме того, \(1 = \sin^2 2x + \cos^2 2x\). Уравнение принимает вид: \[2\cos^2 2x - 4\sin 2x\cos 2x + \sin^2 2x + \cos^2 2x = 0;\] \[\sin^2 2x - 4\sin 2x\cos 2x + 3\cos^2 2x = 0.\]

Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени относительно \(\sin 2x\) и \(\cos 2x\). Если \(\cos 2x = 0\), то из этого уравнения следует, что \(\sin 2x = 0\). Однако \(\sin 2x\) и \(\cos 2x\) не могут одновременно быть равными нулю, поскольку \(\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1\). Следовательно, множество корней состоит из таких чисел \(x\), при которых \(\cos 2x \ne 0\), и деление обеих частей на \(\cos^2 2x\) даёт равносильное уравнение: \[\mathrm{tg}^2\,2x - 4\,\mathrm{tg}\,2x + 3 = 0.\]

Пусть \(\mathrm{tg}\,2x = t\). Тогда \(t^2 - 4t + 3 = 0\); \(D = 16 - 12 = 4\); \(t_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1\), \(t_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3\). Переходим к совокупности: \[\left[\begin{array}{l} \mathrm{tg}\,2x = 1, \\ \mathrm{tg}\,2x = 3. \end{array}\right.\]

Из первого уравнения \(2x = \frac{\pi}{4} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); \(x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}\).

Из второго уравнения \(2x = \mathrm{arctg}\,3 + \pi n\); \(x = \frac{1}{2}\,\mathrm{arctg}\,3 + \frac{\pi n}{2}\).

3) Сгруппируем крайние слагаемые и применим формулу суммы косинусов: \[\cos 9x + \cos 7x = 2\cos\frac{9x + 7x}{2}\cos\frac{9x - 7x}{2} = 2\cos 8x\cos x.\]

Тогда \(2\cos 8x\cos x + \cos 8x = 0\); \(\cos 8x\,(2\cos x + 1) = 0\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \[\left[\begin{array}{l} \cos 8x = 0, \\ \cos x = -\frac{1}{2}; \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} 8x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \\ x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbf{Z}. \end{array}\right.\]

Из первого уравнения \(x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}\).

4) Область определения уравнения задаётся условием \(1 - \cos x \ne 0\), то есть \(\cos x \ne 1\), откуда \(x \ne 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

На области определения знаменатель отличен от нуля, поэтому умножение обеих частей на \(1 - \cos x\) даёт равносильное уравнение \(\sin 2x = 2\sin x\,(1 - \cos x)\). Отсюда \[2\sin x\cos x = 2\sin x - 2\sin x\cos x;\] \[4\sin x\cos x - 2\sin x = 0;\quad 2\sin x\,(2\cos x - 1) = 0.\]

Данное уравнение равносильно системе: \[\begin{cases}\left[\begin{array}{l}\sin x = 0,\\ \cos x = \frac{1}{2},\end{array}\right.\\ \cos x \ne 1.\end{cases}\]

Уравнение \(\sin x = 0\) даёт \(x = \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). При \(k = 2m\), \(m \in \mathbf{Z}\), получаем \(x = 2\pi m\), и тогда \(\cos x = 1\) — такие числа системе не удовлетворяют. При \(k = 2m + 1\) получаем \(x = \pi(2m + 1) = \pi + 2\pi m\), и тогда \(\cos x = -1\) — условие системы выполнено. Значит, из этой серии остаются только числа \(x = \pi + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Уравнение \(\cos x = \frac{1}{2}\) даёт \(x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); для этих чисел \(\cos x = \frac{1}{2} \ne 1\), поэтому они входят в ответ полностью.

5) Разделим обе части на \(\sqrt{2}\): \[\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 10x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos 10x = -\sin 8x.\]

Так как \(\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\frac{\pi}{4}\) и \(\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\frac{\pi}{4}\), то левая часть свёртывается по формуле синуса суммы: \[\cos\frac{\pi}{4}\sin 10x + \sin\frac{\pi}{4}\cos 10x = \sin\left(10x + \frac{\pi}{4}\right).\]

Уравнение принимает вид \[\sin\left(10x + \frac{\pi}{4}\right) + \sin 8x = 0.\]

По формуле суммы синусов полусумма аргументов равна \(\frac{1}{2}\left(10x + \frac{\pi}{4} + 8x\right) = 9x + \frac{\pi}{8}\), а полуразность равна \(\frac{1}{2}\left(10x + \frac{\pi}{4} - 8x\right) = x + \frac{\pi}{8}\). Значит, \[2\sin\left(9x + \frac{\pi}{8}\right)\cos\left(x + \frac{\pi}{8}\right) = 0;\] \[\left[\begin{array}{l} \sin\left(9x + \frac{\pi}{8}\right) = 0, \\ \cos\left(x + \frac{\pi}{8}\right) = 0. \end{array}\right.\]

Из первого уравнения \(9x + \frac{\pi}{8} = \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); \(9x = -\frac{\pi}{8} + \pi n\); \(x = -\frac{\pi}{72} + \frac{\pi n}{9}\).

Из второго уравнения \(x + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2} + \pi n\); \(x = \frac{3\pi}{8} + \pi n\).

Ответ: 1) \(\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 2) \(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}\); \(\frac{1}{2}\,\mathrm{arctg}\,3 + \frac{\pi n}{2}\), \(n \in \mathbf{Z}\); 3) \(\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}\); \(\pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 4) \(\pi + 2\pi n\); \(\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 5) \(-\frac{\pi}{72} + \frac{\pi n}{9}\); \(\frac{3\pi}{8} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

1) Обозначим \(t = \frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6}\). Неравенство принимает вид \(\mathrm{tg}\,t < -\sqrt{3}\).

Решим его на промежутке \(\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)\), длина которого равна периоду функции \(y = \mathrm{tg}\,t\).

Имеем: \(\mathrm{arctg}\left(-\sqrt{3}\right) = -\frac{\pi}{3}\), так как \(-\frac{\pi}{3} \in \left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)\) и \(\mathrm{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}\). Построим график функции \(y = \mathrm{tg}\,t\) на промежутке \(\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)\) и прямую \(y = -\sqrt{3}\).

На рассматриваемом промежутке график функции \(y = \mathrm{tg}\,t\) расположен ниже прямой \(y = -\sqrt{3}\) при \(t \in \left(-\frac{\pi}{2};\ -\frac{\pi}{3}\right)\); левый конец в множество решений не входит, потому что в точке \(t = -\frac{\pi}{2}\) тангенс не определён.

Функция \(y = \mathrm{tg}\,t\) периодическая с периодом \(\pi\), поэтому множеством решений неравенства \(\mathrm{tg}\,t < -\sqrt{3}\) является объединение всех промежутков вида \(\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n;\ -\frac{\pi}{3} + \pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\). Возвращаясь к переменной \(x\), получаем: \[-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6} < -\frac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in \mathbf{Z};\] \[\frac{\pi}{3} + \pi n < \frac{x}{7} < \frac{\pi}{2} + \pi n;\quad \frac{7\pi}{3} + 7\pi n < x < \frac{7\pi}{2} + 7\pi n.\]

2) Рассмотрим функцию \(f(x) = \cos x\,(\mathrm{ctg}\,x - 1)\). Она определена при \(\sin x \ne 0\), то есть при всех \(x\), кроме \(x = \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Делить обе части неравенства на \(\cos x\) нельзя: знак этого множителя не установлен.

Так как \(\cos(x + \pi) = -\cos x\), а \(\mathrm{ctg}\,(x + \pi) = \mathrm{ctg}\,x\), то \(f(x + \pi) = -f(x)\), и число \(\pi\) периодом функции \(f\) не является. При этом \(f(x + 2\pi) = f(x)\), то есть \(f\) — периодическая с периодом \(2\pi\).

Найдём нули функции \(f\) на промежутке \([0;\ 2\pi]\) длиной в период. Имеем: \(\cos x\,(\mathrm{ctg}\,x - 1) = 0\); \[\left[\begin{array}{l} \cos x = 0, \\ \mathrm{ctg}\,x = 1; \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \\ x = \frac{\pi}{4} + \pi n,\ n \in \mathbf{Z}. \end{array}\right.\]

Промежутку \([0;\ 2\pi]\) принадлежат четыре нуля: \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{5\pi}{4}\), \(\frac{3\pi}{2}\). Кроме того, в точках \(0\), \(\pi\) и \(2\pi\) функция \(f\) не определена. Эти семь чисел разбивают промежуток \([0;\ 2\pi]\) на промежутки знакопостоянства, а знак на каждом из них найдём по пробной точке: \[f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\left(\sqrt{3} - 1\right) > 0;\quad f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{3} - 1\right) < 0;\] \[f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3} - 1\right) > 0;\quad f\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\sqrt{3} - 1\right) < 0;\] \[f\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{3} - 1\right) > 0;\quad f\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3} - 1\right) < 0.\]

Значит, на промежутке \([0;\ 2\pi]\) функция \(f\) принимает отрицательные значения на промежутках \(\left(\frac{\pi}{4};\ \frac{\pi}{2}\right)\), \(\left(\pi;\ \frac{5\pi}{4}\right)\) и \(\left(\frac{3\pi}{2};\ 2\pi\right)\). С учётом периодичности функции \(f\) прибавим к концам этих промежутков \(2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Ответ: 1) \(\frac{7\pi}{3} + 7\pi n < x < \frac{7\pi}{2} + 7\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 2) \(\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), или \(\pi + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\), или \(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Равенством \(\arcsin(\sin x) = x\) сразу воспользоваться нельзя: оно верно только при \(x \in \left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\), а число \(14\) этому промежутку не принадлежит. Значение арксинуса лежит в промежутке \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\) и потому не может равняться \(14\).

Функция \(y = \sin x\) периодическая с периодом \(2\pi\), поэтому период можно вычесть дважды: \(\sin 14 = \sin(14 - 4\pi)\).

Проверим, что число \(14 - 4\pi\) принадлежит промежутку \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\). Из оценки \(3{,}14 < \pi < 3{,}15\) получаем \(12{,}56 < 4\pi < 12{,}6\), отсюда \(1{,}4 < 14 - 4\pi < 1{,}44\). При этом \(\frac{\pi}{2} > \frac{3{,}14}{2} = 1{,}57\), поэтому \(-\frac{\pi}{2} < 14 - 4\pi < \frac{\pi}{2}\). Значит, \[\arcsin(\sin 14) = \arcsin(\sin(14 - 4\pi)) = 14 - 4\pi.\]

Ответ: \(14 - 4\pi\).

Пусть \(\cos x = t\). Областью значений функции \(y = \cos x\) является промежуток \([-1;\ 1]\), поэтому \(t \in [-1;\ 1]\); при этом каждому значению \(t\) из этого промежутка отвечают корни уравнения \(\cos x = t\). Значит, данное уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда уравнение \[t^2 - (a + 2)t + 3a - 3 = 0\] имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку \([-1;\ 1]\).

Сгруппируем слагаемые с параметром и разложим левую часть на множители: \[t^2 - 2t - 3 - a\,(t - 3) = 0;\quad (t - 3)(t + 1) - a\,(t - 3) = 0;\] \[(t - 3)(t + 1 - a) = 0.\]

Отсюда \(t = 3\) или \(t = a - 1\).

Число \(3\) промежутку \([-1;\ 1]\) не принадлежит, поэтому корень \(t = 3\) ни при каком значении параметра решений исходного уравнения не даёт. Остаётся потребовать, чтобы промежутку \([-1;\ 1]\) принадлежало число \(a - 1\): \[-1 \leqslant a - 1 \leqslant 1;\quad 0 \leqslant a \leqslant 2.\]

Проверка: при \(a = 0\) уравнение принимает вид \(\cos^2 x - 2\cos x - 3 = 0\), откуда \(\cos x = 3\) или \(\cos x = -1\); уравнение \(\cos x = -1\) имеет корни \(x = \pi + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). При \(a = 2\) уравнение принимает вид \(\cos^2 x - 4\cos x + 3 = 0\), откуда \(\cos x = 3\) или \(\cos x = 1\); уравнение \(\cos x = 1\) имеет корни \(x = 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Оба граничных значения параметра подходят.

Ответ: \(0 \leqslant a \leqslant 2\).