Контрольная работа 5 Вариант 2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка
1) \(\frac{19\pi}{3} = \frac{18\pi + \pi}{3} = 6\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 3\), период синуса равен \(2\pi\), поэтому \[\sin\frac{19\pi}{3} = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.\]
2) Котангенс — нечётная функция, поэтому \(\mathrm{ctg}\,(-765^\circ) = -\mathrm{ctg}\,765^\circ\); период котангенса равен \(180^\circ\), а \(765^\circ = 45^\circ + 180^\circ \cdot 4\), поэтому \[\mathrm{ctg}\,(-765^\circ) = -\mathrm{ctg}\,45^\circ = -\frac{\cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2} : \frac{\sqrt{2}}{2} = -1.\]
Ответ: 1) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\); 2) \(-1\).
1) \(90^\circ < 156^\circ < 180^\circ\) — II четверть, поэтому \(\cos 156^\circ < 0\).
\(\sin(-350^\circ) = -\sin 350^\circ\) (синус нечётный), а \(270^\circ < 350^\circ < 360^\circ\) — IV четверть, поэтому \(\sin 350^\circ < 0\) и \(\sin(-350^\circ) > 0\).
\(180^\circ < 230^\circ < 270^\circ\) — III четверть, поэтому \(\mathrm{ctg}\,230^\circ > 0\).
Произведение отрицательного числа и двух положительных отрицательно: \[\cos 156^\circ \sin(-350^\circ)\,\mathrm{ctg}\,230^\circ < 0.\]
2) \(\frac{3\pi}{2} = \frac{15\pi}{10}\), \(\frac{9\pi}{5} = \frac{18\pi}{10}\), \(2\pi = \frac{20\pi}{10}\), значит, \(\frac{3\pi}{2} < \frac{9\pi}{5} < 2\pi\) — IV четверть, и \(\sin\frac{9\pi}{5} < 0\).
\(\mathrm{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right) = -\mathrm{ctg}\,\frac{8\pi}{7}\) (котангенс нечётный); \(\pi = \frac{14\pi}{14}\), \(\frac{8\pi}{7} = \frac{16\pi}{14}\), \(\frac{3\pi}{2} = \frac{21\pi}{14}\), значит, \(\pi < \frac{8\pi}{7} < \frac{3\pi}{2}\) — III четверть, и \(\mathrm{ctg}\,\frac{8\pi}{7} > 0\), поэтому \(\mathrm{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right) < 0\).
Произведение двух отрицательных чисел положительно: \[\sin\frac{9\pi}{5}\,\mathrm{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right) > 0.\]
Ответ: 1) выражение \(\cos 156^\circ \sin(-350^\circ)\,\mathrm{ctg}\,230^\circ\) отрицательно; 2) выражение \(\sin\frac{9\pi}{5}\,\mathrm{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right)\) положительно.
1) Область определения — все действительные числа, она симметрична относительно начала координат.
\(\sin(-3x) = -\sin 3x\), \(\cos(-x) = \cos x\), поэтому \[\begin{aligned} &f(-x) = (-x)^5 - 3\sin^3(-3x)\cos(-x) = -x^5 - 3\left(-\sin 3x\right)^3\cos x = {} \\ &= -x^5 + 3\sin^3 3x \cos x = -\left(x^5 - 3\sin^3 3x \cos x\right) = -f(x). \end{aligned}\]
Значит, функция нечётная.
2) Тангенс определён при \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\), котангенс — при \(x \ne \pi k\), знаменатель отличен от нуля при \(\sin x \ne 0\), то есть снова при \(x \ne \pi k\); вместе эти условия дают \(x \ne \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Такая область определения симметрична относительно начала координат: вместе с каждым своим числом она содержит и противоположное ему.
Тангенс, котангенс и синус нечётные: \[f(-x) = \frac{\mathrm{tg}\,(-x) + \mathrm{ctg}\,(-x)}{\sin(-x)} = \frac{-\mathrm{tg}\,x - \mathrm{ctg}\,x}{-\sin x} = \frac{\mathrm{tg}\,x + \mathrm{ctg}\,x}{\sin x} = f(x).\]
Значит, функция чётная.
Ответ: 1) функция \(f(x) = x^5 - 3\sin^3 3x \cos x\) нечётная; 2) функция \(f(x) = \frac{\mathrm{tg}\,x + \mathrm{ctg}\,x}{\sin x}\) чётная.
\(g(x) = \sin\frac{3x}{2}\) и \(h(x) = \mathrm{ctg}\,\frac{4x}{3}\); общий период этих функций и будет периодом их суммы. \[T_g = 2\pi : \frac{3}{2} = \frac{4\pi}{3} = \frac{4}{3} \cdot \pi, \qquad T_h = \pi : \frac{4}{3} = \frac{3\pi}{4} = \frac{3}{4} \cdot \pi.\]
\[T = \frac{\text{НОК}\,(4;\ 3)}{\text{НОД}\,(3;\ 4)} \cdot \pi = \frac{12}{1} \cdot \pi = 12\pi.\]
\(T = 9T_g\) и \(T = 16T_h\), поэтому \(12\pi\) — период функций \(g\) и \(h\), а с ними и функции \(f\).
Меньшего положительного общего периода нет: любой период функции \(g\) имеет вид \(\frac{4\pi}{3}m\), любой период функции \(h\) — вид \(\frac{3\pi}{4}n\), где \(m\) и \(n\) — целые числа, отличные от нуля. Из равенства \(\frac{4\pi m}{3} = \frac{3\pi n}{4}\) получаем \(16m = 9n\); числа 16 и 9 взаимно простые, поэтому \(m = 9t\), \(t \in \mathbf{Z}\), и общий период равен \(\frac{4\pi}{3} \cdot 9t = 12\pi t\). Наименьшее положительное число такого вида — это \(12\pi\).
Ответ: \(12\pi\).
1) \(\frac{20\pi}{19} = \pi + \frac{\pi}{19}\), \(\frac{21\pi}{20} = \pi + \frac{\pi}{20}\) — оба числа принадлежат промежутку \(\left(\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2}\right)\), на котором тангенс возрастает (это промежуток вида \(\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\), при \(n = 1\)): \[\frac{\pi}{2} < \pi < \pi + \frac{\pi}{20} < \pi + \frac{\pi}{19} < \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}.\]
\(\frac{\pi}{20} < \frac{\pi}{19}\), то есть \(\frac{21\pi}{20} < \frac{20\pi}{19}\), а у возрастающей функции большему аргументу отвечает большее значение, поэтому \(\mathrm{tg}\,\frac{20\pi}{19} > \mathrm{tg}\,\frac{21\pi}{20}\).
2) \(\cos\left(-\frac{16\pi}{33}\right) = \cos\frac{16\pi}{33}\), \(\cos\left(-\frac{17\pi}{35}\right) = \cos\frac{17\pi}{35}\) (косинус чётный).
\(16 \cdot 2 = 32 < 33\), то есть \(\frac{16}{33} < \frac{1}{2}\); \(17 \cdot 2 = 34 < 35\), то есть \(\frac{17}{35} < \frac{1}{2}\). Значит, оба числа \(\frac{16\pi}{33}\) и \(\frac{17\pi}{35}\) принадлежат промежутку \(\left(0;\ \frac{\pi}{2}\right)\), а на промежутке \([0;\ \pi]\) косинус убывает.
\(16 \cdot 35 = 560\), \(17 \cdot 33 = 561\), и \(560 < 561\), поэтому \(\frac{16}{33} < \frac{17}{35}\), а значит, \(\frac{16\pi}{33} < \frac{17\pi}{35}\).
У убывающей функции меньшему аргументу отвечает большее значение, поэтому \(\cos\frac{16\pi}{33} > \cos\frac{17\pi}{35}\).
Ответ: 1) \(\mathrm{tg}\,\frac{20\pi}{19} > \mathrm{tg}\,\frac{21\pi}{20}\); 2) \(\cos\left(-\frac{16\pi}{33}\right) > \cos\left(-\frac{17\pi}{35}\right)\).
Выражение определено при \(\sin x \ne 0\), то есть при \(x \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
\[\mathrm{ctg}^2 x \sin^2 x - 5 = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \cdot \sin^2 x - 5 = \cos^2 x - 5.\]
Для любого аргумента \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\), откуда \(0 \leqslant \cos^2 x \leqslant 1\). Равенство \(\cos^2 x = 1\) означает, что \(\cos x = 1\) или \(\cos x = -1\); такие точки — \(2\pi n\) и \(\pi + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\), — имеют вид \(\pi k\) и в область определения не входят. Значит, \(0 \leqslant \cos^2 x < 1\), и тогда \[-5 \leqslant \cos^2 x - 5 < -4.\]
Наименьшее значение, равное \(-5\), достигается при \(\cos x = 0\), то есть при \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\): синус в этих точках отличен от нуля, и они принадлежат области определения.
Наибольшего значения не существует: на промежутке \((0;\ \pi)\), целиком лежащем в области определения, косинус убывает и принимает все значения из промежутка \((-1;\ 1)\), поэтому \(\cos^2 x\) принимает все значения из промежутка \([0;\ 1)\), а данное выражение — все значения из промежутка \([-5;\ -4)\), и для каждого принятого значения найдётся большее.
Ответ: наименьшее значение равно \(-5\) (выражение принимает его при \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\)); наибольшего значения не существует — выражение принимает все значения из промежутка \([-5;\ -4)\).
1) График \(y = \cos x\) растягиваем от оси ординат в 3 раза — получаем \(y = \cos\frac{x}{3}\); часть его, лежащую ниже оси абсцисс, отражаем относительно этой оси — получаем \(y = \left|\cos\frac{x}{3}\right|\); растяжение от оси абсцисс в 2 раза даёт искомый график.
Значения функции неотрицательны, наибольшее равно 2. Нули: \(\cos\frac{x}{3} = 0\), \(\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Значения повторяются через \(3\pi\): точки единичной окружности для углов поворота \(\frac{x}{3}\) и \(\frac{x}{3} + \pi\) диаметрально противоположны, их абсциссы противоположны, а модуль от знака не зависит. Значит, график состоит из одинаковых арок высотой 2 на промежутках длиной \(3\pi\).
2) Квадратный корень определён при \(\cos\frac{1}{2}x - 1 \geqslant 0\), то есть при \(\cos\frac{x}{2} \geqslant 1\); но \(\cos\frac{x}{2} \leqslant 1\), поэтому \(\cos\frac{x}{2} = 1\).
\(\frac{x}{2} = 2\pi n\), откуда \(x = 4\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\), — только из этих чисел и состоит область определения.
В каждой такой точке \(y = \sqrt{0} + 1 = 1\). Значит, график — не кривая, а множество изолированных точек \(\left(4\pi n;\ 1\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\); соседние точки отстоят на \(4\pi\).
1) Выделим целое число полных оборотов: \(\frac{19\pi}{3} = \frac{18\pi + \pi}{3} = 6\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 3\).
Синус — периодическая функция с периодом \(2\pi\), поэтому \[\sin\frac{19\pi}{3} = \sin\left(\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 3\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.\]
2) Котангенс — нечётная функция, поэтому \(\mathrm{ctg}\,(-765^\circ) = -\mathrm{ctg}\,765^\circ\). Период котангенса равен \(180^\circ\), а \(765^\circ = 45^\circ + 180^\circ \cdot 4\), поэтому \[\begin{aligned} &\mathrm{ctg}\,(-765^\circ) = -\mathrm{ctg}\,(45^\circ + 180^\circ \cdot 4) = -\mathrm{ctg}\,45^\circ = {} \\ &= -\frac{\cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2} : \frac{\sqrt{2}}{2} = -1. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\); 2) \(-1\).
1) Знак каждого множителя определяем по четверти его аргумента.
\(90^\circ < 156^\circ < 180^\circ\), значит, \(156^\circ\) — угол II четверти, и \(\cos 156^\circ < 0\).
Синус — нечётная функция, поэтому \(\sin(-350^\circ) = -\sin 350^\circ\). Так как \(270^\circ < 350^\circ < 360^\circ\), то \(350^\circ\) — угол IV четверти, и \(\sin 350^\circ < 0\); следовательно, \(\sin(-350^\circ) > 0\).
\(180^\circ < 230^\circ < 270^\circ\), значит, \(230^\circ\) — угол III четверти, и \(\mathrm{ctg}\,230^\circ > 0\).
Произведение отрицательного числа и двух положительных отрицательно: \[\cos 156^\circ \sin(-350^\circ)\,\mathrm{ctg}\,230^\circ < 0.\]
2) Так как \(\frac{3\pi}{2} = \frac{15\pi}{10}\), \(\frac{9\pi}{5} = \frac{18\pi}{10}\), \(2\pi = \frac{20\pi}{10}\), то \(\frac{3\pi}{2} < \frac{9\pi}{5} < 2\pi\) — это угол IV четверти, и \(\sin\frac{9\pi}{5} < 0\).
Котангенс — нечётная функция, поэтому \(\mathrm{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right) = -\mathrm{ctg}\,\frac{8\pi}{7}\). Так как \(\pi = \frac{14\pi}{14}\), \(\frac{8\pi}{7} = \frac{16\pi}{14}\), \(\frac{3\pi}{2} = \frac{21\pi}{14}\), то \(\pi < \frac{8\pi}{7} < \frac{3\pi}{2}\) — это угол III четверти, и \(\mathrm{ctg}\,\frac{8\pi}{7} > 0\); следовательно, \(\mathrm{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right) < 0\).
Произведение двух отрицательных чисел положительно: \[\sin\frac{9\pi}{5}\,\mathrm{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right) > 0.\]
Ответ: 1) выражение \(\cos 156^\circ \sin(-350^\circ)\,\mathrm{ctg}\,230^\circ\) отрицательно; 2) выражение \(\sin\frac{9\pi}{5}\,\mathrm{ctg}\left(-\frac{8\pi}{7}\right)\) положительно.
1) Область определения функции \(f(x) = x^5 - 3\sin^3 3x \cos x\) — все действительные числа; она симметрична относительно начала координат.
Синус — нечётная функция, косинус — чётная, поэтому \(\sin(-3x) = -\sin 3x\) и \(\cos(-x) = \cos x\). Имеем: \[\begin{aligned} &f(-x) = (-x)^5 - 3\sin^3(-3x)\cos(-x) = -x^5 - 3\left(-\sin 3x\right)^3\cos x = {} \\ &= -x^5 + 3\sin^3 3x \cos x = -\left(x^5 - 3\sin^3 3x \cos x\right) = -f(x). \end{aligned}\]
Следовательно, данная функция — нечётная.
2) Тангенс определён при \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\), котангенс — при \(x \ne \pi k\), а знаменатель отличен от нуля при \(\sin x \ne 0\), то есть снова при \(x \ne \pi k\). Вместе эти условия дают \(x \ne \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Область определения функции \(f(x) = \frac{\mathrm{tg}\,x + \mathrm{ctg}\,x}{\sin x}\) — все действительные числа, кроме чисел вида \(\frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\), — симметрична относительно начала координат: вместе с каждым своим числом она содержит и противоположное ему.
Тангенс, котангенс и синус — нечётные функции. Имеем: \[f(-x) = \frac{\mathrm{tg}\,(-x) + \mathrm{ctg}\,(-x)}{\sin(-x)} = \frac{-\mathrm{tg}\,x - \mathrm{ctg}\,x}{-\sin x} = \frac{\mathrm{tg}\,x + \mathrm{ctg}\,x}{\sin x} = f(x).\]
Следовательно, данная функция — чётная.
Ответ: 1) функция \(f(x) = x^5 - 3\sin^3 3x \cos x\) нечётная; 2) функция \(f(x) = \frac{\mathrm{tg}\,x + \mathrm{ctg}\,x}{\sin x}\) чётная.
Рассмотрим функции \(g(x) = \sin\frac{3x}{2}\) и \(h(x) = \mathrm{ctg}\,\frac{4x}{3}\): общий период этих функций и будет периодом их суммы.
Главный период функции \(y = \sin kx\) равен \(\frac{2\pi}{|k|}\), главный период функции \(y = \mathrm{ctg}\,kx\) равен \(\frac{\pi}{|k|}\), поэтому \[T_g = 2\pi : \frac{3}{2} = \frac{4\pi}{3} = \frac{4}{3} \cdot \pi, \qquad T_h = \pi : \frac{4}{3} = \frac{3\pi}{4} = \frac{3}{4} \cdot \pi.\]
Рассмотрим число \[T = \frac{\text{НОК}\,(4;\ 3)}{\text{НОД}\,(3;\ 4)} \cdot \pi = \frac{12}{1} \cdot \pi = 12\pi.\]
Так как \(T = 9T_g\) и \(T = 16T_h\), число \(12\pi\) является периодом и функции \(g\), и функции \(h\), а значит, и периодом функции \(f\).
Меньшего положительного общего периода у этих функций нет. Каждая из них имеет наименьший положительный период, поэтому любой период функции \(g\) имеет вид \(\frac{4\pi}{3}m\), а любой период функции \(h\) — вид \(\frac{3\pi}{4}n\), где \(m\) и \(n\) — целые числа, отличные от нуля. Из равенства \(\frac{4\pi m}{3} = \frac{3\pi n}{4}\) получаем \(16m = 9n\); числа 16 и 9 взаимно простые, поэтому \(m = 9t\), \(t \in \mathbf{Z}\), и общий период равен \(\frac{4\pi}{3} \cdot 9t = 12\pi t\). Наименьшее положительное число такого вида — это \(12\pi\).
Ответ: \(12\pi\).
1) Представим оба числа в виде суммы: \(\frac{20\pi}{19} = \pi + \frac{\pi}{19}\), \(\frac{21\pi}{20} = \pi + \frac{\pi}{20}\).
Оба они принадлежат одному промежутку \(\left(\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2}\right)\), на котором функция \(y = \mathrm{tg}\,x\) возрастает (тангенс возрастает на каждом промежутке вида \(\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\); при \(n = 1\) это как раз промежуток \(\left(\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2}\right)\)): \[\frac{\pi}{2} < \pi < \pi + \frac{\pi}{20} < \pi + \frac{\pi}{19} < \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}.\]
Так как \(\frac{\pi}{20} < \frac{\pi}{19}\), то \(\frac{21\pi}{20} < \frac{20\pi}{19}\). Большему значению аргумента возрастающей функции отвечает большее значение функции, поэтому \(\mathrm{tg}\,\frac{20\pi}{19} > \mathrm{tg}\,\frac{21\pi}{20}\).
2) Косинус — чётная функция, поэтому \(\cos\left(-\frac{16\pi}{33}\right) = \cos\frac{16\pi}{33}\) и \(\cos\left(-\frac{17\pi}{35}\right) = \cos\frac{17\pi}{35}\).
Так как \(16 \cdot 2 = 32 < 33\), то \(\frac{16}{33} < \frac{1}{2}\); так как \(17 \cdot 2 = 34 < 35\), то \(\frac{17}{35} < \frac{1}{2}\). Значит, оба числа \(\frac{16\pi}{33}\) и \(\frac{17\pi}{35}\) принадлежат одному промежутку \(\left(0;\ \frac{\pi}{2}\right)\), а на промежутке \([0;\ \pi]\) функция \(y = \cos x\) убывает.
Сравним дроби \(\frac{16}{33}\) и \(\frac{17}{35}\): \(16 \cdot 35 = 560\), \(17 \cdot 33 = 561\), и \(560 < 561\), поэтому \(\frac{16}{33} < \frac{17}{35}\), а значит, \(\frac{16\pi}{33} < \frac{17\pi}{35}\).
Меньшему значению аргумента убывающей функции отвечает большее значение функции, поэтому \(\cos\frac{16\pi}{33} > \cos\frac{17\pi}{35}\).
Ответ: 1) \(\mathrm{tg}\,\frac{20\pi}{19} > \mathrm{tg}\,\frac{21\pi}{20}\); 2) \(\cos\left(-\frac{16\pi}{33}\right) > \cos\left(-\frac{17\pi}{35}\right)\).
Выражение \(\mathrm{ctg}^2 x \sin^2 x - 5\) определено при \(\sin x \ne 0\), то есть при \(x \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
По определению котангенса \(\mathrm{ctg}\,x = \frac{\cos x}{\sin x}\), поэтому при всех допустимых значениях переменной \[\mathrm{ctg}^2 x \sin^2 x - 5 = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \cdot \sin^2 x - 5 = \cos^2 x - 5.\]
Для любого значения аргумента \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\), откуда \(0 \leqslant \cos^2 x \leqslant 1\). Равенство \(\cos^2 x = 1\) означает, что \(\cos x = 1\) или \(\cos x = -1\). Значение 1 косинус принимает в точках вида \(2\pi n\), значение \(-1\) — в точках вида \(\pi + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); все они имеют вид \(\pi k\) и в область определения не входят. Значит, \(0 \leqslant \cos^2 x < 1\), и тогда \[-5 \leqslant \cos^2 x - 5 < -4.\]
Наименьшее значение, равное \(-5\), выражение принимает при \(\cos x = 0\), то есть при \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); синус в этих точках отличен от нуля, и они принадлежат области определения.
Наибольшего значения не существует. На промежутке \((0;\ \pi)\), целиком лежащем в области определения, косинус убывает и принимает все значения из промежутка \((-1;\ 1)\), поэтому \(\cos^2 x\) принимает все значения из промежутка \([0;\ 1)\), а данное выражение — все значения из промежутка \([-5;\ -4)\). Какое бы значение выражение ни приняло, найдётся большее, поэтому наибольшего среди них нет.
Ответ: наименьшее значение равно \(-5\) (выражение принимает его при \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\)); наибольшего значения не существует — выражение принимает все значения из промежутка \([-5;\ -4)\).
1) Растяжение графика функции \(y = \cos x\) от оси ординат в 3 раза даёт график функции \(y = \cos\frac{x}{3}\). Симметрия относительно оси абсцисс той части этого графика, которая лежит ниже оси абсцисс, даёт график функции \(y = \left|\cos\frac{x}{3}\right|\). Растяжение от оси абсцисс в 2 раза даёт искомый график.
Функция принимает только неотрицательные значения; её наибольшее значение равно 2. Нули функции — точки, в которых \(\cos\frac{x}{3} = 0\), то есть \(\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Значения функции повторяются через \(3\pi\): точки единичной окружности, отвечающие углам поворота \(\frac{x}{3}\) и \(\frac{x}{3} + \pi\), диаметрально противоположны, поэтому их абсциссы противоположны, а модуль от знака не зависит. Значит, график состоит из одинаковых арок высотой 2, опирающихся на промежутки длиной \(3\pi\).
2) Квадратный корень определён при \(\cos\frac{1}{2}x - 1 \geqslant 0\), то есть при \(\cos\frac{x}{2} \geqslant 1\). Но для любого значения аргумента \(\cos\frac{x}{2} \leqslant 1\), поэтому остаётся единственная возможность: \(\cos\frac{x}{2} = 1\).
Наибольшее значение, равное 1, косинус принимает в точках вида \(2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\), поэтому \(\frac{x}{2} = 2\pi n\), откуда \(x = 4\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Область определения функции состоит только из этих чисел.
В каждой такой точке \(y = \sqrt{0} + 1 = 1\). Значит, график — не кривая, а множество изолированных точек \(\left(4\pi n;\ 1\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\); соседние точки отстоят друг от друга на \(4\pi\).
