Контрольная работа 4 Вариант 1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Область определения находим по исходной записи функции, до упрощения. Степень с рациональным показателем определена только для положительного основания (для основания, равного нулю, — лишь при натуральных числителе и знаменателе показателя, а показатель \(-\frac13\) отрицателен). Поэтому \(x^2 - 1 > 0\).

Разложим левую часть на множители: \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). Произведение положительно, когда оба множителя отрицательны, то есть при \(x < -1\), и когда оба положительны, то есть при \(x > 1\). Значит, \(D(y) = (-\infty;\ -1) \cup (1;\ +\infty)\).

При таких значениях \(x\) основание положительно, а при возведении степени в степень показатели перемножают: \[\left(\left(x^2 - 1\right)^{-\frac13}\right)^{-3} = \left(x^2 - 1\right)^{-\frac13 \cdot (-3)} = \left(x^2 - 1\right)^1 = x^2 - 1.\]

Значит, данную функцию можно задать такими условиями: \(y = x^2 - 1\), где \(x < -1\) или \(x > 1\). График — две ветви параболы \(y = x^2 - 1\), лежащие левее точки \((-1;\ 0)\) и правее точки \((1;\ 0)\); сами эти точки выколоты, а дуги параболы между ними на графике нет.

Свойства степени с рациональным показателем верны для положительного основания, поэтому считаем, что \(a > 0\) (в пункте 3) ещё и \(b > 0\)).

1) При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитают; общий знаменатель показателей — 36: \[a^{\frac{17}{18}} : a^{-\frac{1}{12}} = a^{\frac{17}{18} + \frac{1}{12}} = a^{\frac{34}{36} + \frac{3}{36}} = a^{\frac{37}{36}}.\]

2) При возведении степени в степень показатели перемножают, при умножении складывают, при делении вычитают: \[\begin{aligned} &\left(a^3\right)^{-0{,}4} \cdot \left(a^{-5}\right)^{-0{,}2} : \left(a^{-0{,}7}\right)^6 = a^{-1{,}2} \cdot a^{1} : a^{-4{,}2} = {} \\ &= a^{-1{,}2 + 1 + 4{,}2} = a^4. \end{aligned}\]

3) Смешанные числа в показателях превратим в неправильные дроби: \(1\frac47 = \frac{11}{7}\), \(2\frac{6}{11} = \frac{28}{11}\). Каждый множитель возводится в степень \(\frac{28}{11}\) отдельно: \[\left(a^{\frac{11}{7}} b^{\frac{3}{14}}\right)^{\frac{28}{11}} = a^{\frac{11}{7} \cdot \frac{28}{11}} b^{\frac{3}{14} \cdot \frac{28}{11}} = a^4 b^{\frac{6}{11}}.\]

Ответ: 1) \(a^{\frac{37}{36}}\); 2) \(a^4\); 3) \(a^4b^{\frac{6}{11}}\).

Степени с рациональным показателем определены для положительного основания, поэтому в пункте 1) считаем, что \(a > 0\), в пункте 2) — что \(a > 0\) и \(b > 0\), в пункте 3) — что \(x > 0\) и \(y > 0\); кроме того, знаменатель каждой дроби отличен от нуля.

1) В числителе вынесем общий множитель \(a^{\frac56}\), учитывая, что \(a^{\frac56} \cdot a^{\frac16} = a\): \[\frac{a - 9a^{\frac56}}{a^{\frac16} - 9} = \frac{a^{\frac56}\left(a^{\frac16} - 9\right)}{a^{\frac16} - 9} = a^{\frac56}.\] Сокращение законно при \(a^{\frac16} \ne 9\), то есть при \(a \ne 9^6\), \(a \ne 531\,441\).

2) Числитель — разность квадратов: \(a^{\frac13} = \left(a^{\frac16}\right)^2\) и \(9b^{\frac16} = \left(3b^{\frac{1}{12}}\right)^2\). Значит, \[\frac{a^{\frac13} - 9b^{\frac16}}{a^{\frac16} + 3b^{\frac{1}{12}}} = \frac{\left(a^{\frac16} - 3b^{\frac{1}{12}}\right)\left(a^{\frac16} + 3b^{\frac{1}{12}}\right)}{a^{\frac16} + 3b^{\frac{1}{12}}} = a^{\frac16} - 3b^{\frac{1}{12}}.\] Знаменатель \(a^{\frac16} + 3b^{\frac{1}{12}}\) при положительных основаниях положителен, поэтому дополнительных ограничений нет.

3) Числитель — квадрат разности: \(4x^{\frac14} = \left(2x^{\frac18}\right)^2\), \(y^{\frac13} = \left(y^{\frac16}\right)^2\), а \(4x^{\frac18}y^{\frac16} = 2 \cdot 2x^{\frac18} \cdot y^{\frac16}\). В знаменателе вынесем общий множитель \(x^{\frac18}y^{\frac16}\): \[\begin{aligned} &\frac{4x^{\frac14} - 4x^{\frac18} y^{\frac16} + y^{\frac13}}{2x^{\frac14} y^{\frac16} - x^{\frac18} y^{\frac13}} = \frac{\left(2x^{\frac18} - y^{\frac16}\right)^2}{x^{\frac18}y^{\frac16}\left(2x^{\frac18} - y^{\frac16}\right)} = {} \\ &= \frac{2x^{\frac18} - y^{\frac16}}{x^{\frac18}y^{\frac16}}. \end{aligned}\] Сокращение законно при \(2x^{\frac18} \ne y^{\frac16}\).

Ответ: 1) \(a^{\frac56}\); 2) \(a^{\frac16} - 3b^{\frac{1}{12}}\); 3) \(\dfrac{2x^{\frac18} - y^{\frac16}}{x^{\frac18}y^{\frac16}}\).

1) Область определения уравнения задаётся условием \(x^2 - 5 \geqslant 0\), откуда \(x \leqslant -\sqrt5\) или \(x \geqslant \sqrt5\).

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель: \[(x - 1)\sqrt{x^2 - 5} - 2(x - 1) = 0;\] \[(x - 1)\left(\sqrt{x^2 - 5} - 2\right) = 0.\] Делить обе части на \(x - 1\) нельзя: при \(x = 1\) этот множитель обращается в нуль, и деление отбросило бы значение \(x = 1\) без проверки. На области определения данное уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} x - 1 = 0, \\ \sqrt{x^2 - 5} = 2. \end{array}\right.\]

Первое уравнение совокупности даёт \(x = 1\), но это число не принадлежит области определения: \(1 - 5 = -4 < 0\). Значит, корнем данного уравнения оно не является.

Во втором уравнении правая часть неотрицательна, поэтому оно равносильно уравнению \(x^2 - 5 = 4\). Отсюда \(x^2 = 9\); \(x = -3\) или \(x = 3\). Оба числа принадлежат области определения, так как \(9 - 5 = 4 \geqslant 0\).

2) Область определения уравнения задаётся условиями \(x + 6 \geqslant 0\) и \(x - 2 \geqslant 0\), то есть это множество \(M = [2;\ +\infty)\).

Уединим радикал: \(\sqrt{x + 6} = 2 + \sqrt{x - 2}\). На множестве \(M\) обе части последнего уравнения принимают неотрицательные значения, поэтому возведение в квадрат даёт уравнение, равносильное данному на \(M\): \[x + 6 = 4 + 4\sqrt{x - 2} + x - 2;\] \[4\sqrt{x - 2} = 4;\] \[\sqrt{x - 2} = 1.\] Обе части снова неотрицательны, поэтому \(x - 2 = 1\); \(x = 3\). Число 3 принадлежит множеству \(M\).

3) Обозначим \(u = \sqrt[3]{1 - x}\), \(v = \sqrt[3]{1 + x}\). Тогда \(u^3 = 1 - x\) и \(v^3 = 1 + x\), откуда \(u^3 + v^3 = 2\), а данное уравнение принимает вид \(u + v = 2\).

Возведём равенство \(u + v = 2\) в куб, воспользовавшись тождеством \((u + v)^3 = u^3 + v^3 + 3uv\,(u + v)\): \[u^3 + v^3 + 3uv\,(u + v) = 8;\] \[2 + 3uv \cdot 2 = 8;\] \[uv = 1.\]

Значит, сумма чисел \(u\) и \(v\) равна 2, а произведение равно 1, то есть эти числа — корни квадратного уравнения \(t^2 - 2t + 1 = 0\). Отсюда \(t = 1\), поэтому \(u = 1\) и \(v = 1\). Тогда \(1 - x = 1\), откуда \(x = 0\).

При переходе к равенству \(uv = 1\) использовано само уравнение, поэтому полученное уравнение является следствием данного и проверка обязательна.

Проверка: при \(x = 0\) левая часть равна \(\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{1} = 1 + 1 = 2\), правая часть равна 2. Равенство верное, значит, число 0 — корень данного уравнения.

Ответ: 1) \(-3\); \(3\); 2) \(3\); 3) \(0\).

1) Неравенство вида «корень меньше выражения» равносильно системе трёх условий: подкоренное выражение меньше квадрата правой части, правая часть положительна, подкоренное выражение неотрицательно. Данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 3 - 2x < x^2, \\ x > 0, \\ 3 - 2x \geqslant 0. \end{cases}\]

Первое неравенство системы: \(x^2 + 2x - 3 > 0\); \((x + 3)(x - 1) > 0\), откуда \(x < -3\) или \(x > 1\). Третье неравенство даёт \(x \leqslant 1{,}5\). Значит, \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} x < -3, \\ x > 1, \end{array}\right. \\ x > 0, \\ x \leqslant 1{,}5; \end{cases} \quad 1 < x \leqslant 1{,}5.\]

2) Неравенство вида «корень больше выражения» равносильно совокупности двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} x < 0, \\ 5x - 6 \geqslant 0, \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant 0, \\ 5x - 6 > x^2. \end{cases} \end{array}\right.\]

Первая система решений не имеет: из неравенства \(5x - 6 \geqslant 0\) следует \(x \geqslant 1{,}2\), что несовместно с условием \(x < 0\).

Вторая система: \(x^2 - 5x + 6 < 0\); \((x - 2)(x - 3) < 0\), откуда \(2 < x < 3\). Все эти числа положительны, поэтому условие \(x \geqslant 0\) выполняется, и вторая система даёт \(2 < x < 3\).

Ответ: 1) \((1;\ 1{,}5]\); 2) \((2;\ 3)\).