Контрольная работа 3 Вариант 2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Числитель и знаменатель дроби под корнем положительны, поэтому корень из частного равен частному корней: \[\sqrt[4]{\frac{5^8 \cdot 11^4}{2^{16}}} = \frac{\sqrt[4]{5^8 \cdot 11^4}}{\sqrt[4]{2^{16}}} = \frac{\sqrt[4]{\left(5^2 \cdot 11\right)^4}}{\sqrt[4]{\left(2^4\right)^4}} = \frac{25 \cdot 11}{16} = \frac{275}{16}.\]

2) Оба подкоренных числа положительны, поэтому произведение корней равно корню из произведения: \[\sqrt[3]{375} \cdot \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{375 \cdot 9} = \sqrt[3]{3375} = \sqrt[3]{15^3} = 15.\]

3) Так как \(6 < 9\), то \(\sqrt6 < 3\) и \(3\sqrt6 < 9\). Значит, оба подкоренных выражения положительны и корень из произведения равен произведению корней: \[\begin{aligned} &\sqrt[3]{9 - 3\sqrt6} \cdot \sqrt[3]{9 + 3\sqrt6} = \sqrt[3]{\left(9 - 3\sqrt6\right)\left(9 + 3\sqrt6\right)} = {} \\ &= \sqrt[3]{81 - 54} = \sqrt[3]{27} = 3. \end{aligned}\]

4) Показатели корней разные. Число \(6 + 3\sqrt2\) положительно, поэтому квадратный корень из него можно записать корнем четвёртой степени: \(\sqrt{6 + 3\sqrt2} = \sqrt[4]{\left(6 + 3\sqrt2\right)^2}\).

Преобразуем оба подкоренных выражения: \[\left(6 + 3\sqrt2\right)^2 = 36 + 36\sqrt2 + 18 = 18\left(3 + 2\sqrt2\right),\] \[216 - 144\sqrt2 = 72\left(3 - 2\sqrt2\right).\] Так как \(2\sqrt2 = \sqrt8\) и \(8 < 9\), то \(2\sqrt2 < 3\) и число \(72\left(3 - 2\sqrt2\right)\) положительно. Оба подкоренных выражения положительны, поэтому \[\begin{aligned} &\sqrt[4]{216 - 144\sqrt2} \cdot \sqrt[4]{\left(6 + 3\sqrt2\right)^2} = \sqrt[4]{72\left(3 - 2\sqrt2\right) \cdot 18\left(3 + 2\sqrt2\right)} = {} \\ &= \sqrt[4]{1296\left(9 - 8\right)} = \sqrt[4]{1296} = \sqrt[4]{6^4} = 6. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(\dfrac{275}{16}\); 2) \(15\); 3) \(3\); 4) \(6\).

Показатель степени \(-5\) — целое отрицательное число, противоположное нечётному числу 5, поэтому функция \(y = x^{-5}\) убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\).

Отрезок \([2;\ 3]\) целиком лежит в промежутке \((0;\ +\infty)\). Если \(2 \leqslant x_1 < x_2 \leqslant 3\), то \(x_1^{-5} > x_2^{-5}\), а тогда и \(x_1^{-5} + 1 > x_2^{-5} + 1\). Значит, данная функция на отрезке \([2;\ 3]\) убывает, и наибольшее значение она принимает в левом конце отрезка, а наименьшее — в правом: \[\max\limits_{[2;\ 3]} y = y(2) = 2^{-5} + 1 = \frac{1}{32} + 1 = \frac{33}{32},\] \[\min\limits_{[2;\ 3]} y = y(3) = 3^{-5} + 1 = \frac{1}{243} + 1 = \frac{244}{243}.\]

Ответ: наибольшее значение \(\dfrac{33}{32}\) (при \(x = 2\)), наименьшее значение \(\dfrac{244}{243}\) (при \(x = 3\)).

1) Показатель корня нечётный, поэтому выражение \(\sqrt[21]{x^7}\) определено при любом значении \(x\), и вывод «\(x \geqslant 0\)» здесь был бы неверным.

Свойства корня применимы к неотрицательному основанию, поэтому приведём подкоренное выражение к такому виду. Основание \(|x|\) неотрицательно, и показатель корня и показатель степени под ним можно сократить на 7: \(\sqrt[21]{|x|^7} = \sqrt[3 \cdot 7]{|x|^7} = \sqrt[3]{|x|}\).

При \(x \geqslant 0\) имеем \(x^7 = |x|^7\), поэтому \(\sqrt[21]{x^7} = \sqrt[3]{|x|} = \sqrt[3]{x}\).

При \(x < 0\) имеем \(x^7 = -|x|^7\), а корень нечётной степени из противоположного числа равен числу, противоположному корню: \[\begin{aligned} &\sqrt[21]{x^7} = \sqrt[21]{-|x|^7} = -\sqrt[21]{|x|^7} = {} \\ &= -\sqrt[3]{|x|} = -\sqrt[3]{-x} = \sqrt[3]{x}. \end{aligned}\]

В обоих случаях получилось одно и то же: \(\sqrt[21]{x^7} = \sqrt[3]{x}\).

2) Показатель корня чётный, но подкоренное выражение неотрицательно при любом значении \(x\): множители \(x^5\) и \(\sqrt[3]{x}\) имеют одинаковый знак, поэтому их произведение неотрицательно. Значит, выражение определено на всём множестве действительных чисел.

Приведём подкоренное выражение к неотрицательному основанию. При \(x \geqslant 0\) равенство \(x^5\sqrt[3]{x} = |x|^5\sqrt[3]{|x|}\) очевидно. При \(x < 0\) имеем \(x^5 = -|x|^5\) и \(\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{-|x|} = -\sqrt[3]{|x|}\); произведение двух противоположных множителей снова даёт \(|x|^5\sqrt[3]{|x|}\).

Основание \(|x|\) неотрицательно, поэтому \(|x|^5 = \sqrt[3]{|x|^{15}}\) и \[|x|^5\sqrt[3]{|x|} = \sqrt[3]{|x|^{15}} \cdot \sqrt[3]{|x|} = \sqrt[3]{|x|^{16}}.\] Значит, \[\begin{aligned} &\sqrt[4]{x^5\sqrt[3]{x}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{|x|^{16}}} = \sqrt[12]{|x|^{16}} = {} \\ &= \sqrt[3 \cdot 4]{\left(|x|^4\right)^4} = \sqrt[3]{|x|^4} = \sqrt[3]{x^4}. \end{aligned}\]

3) Показатель корня и показатель степени под ним совпадают и чётны, поэтому корень равен модулю: \(\sqrt[14]{(a - 12)^{14}} = |a - 12|\). По условию \(a \geqslant 12\), значит, \(a - 12 \geqslant 0\) и модуль раскрывается со знаком плюс: \[\sqrt[14]{(a - 12)^{14}} = |a - 12| = a - 12.\]

4) Условия на \(a\) здесь нет, а выражение определено при любом его значении, так как \((a - 12)^6 \geqslant 0\). Подкоренное выражение неотрицательно, поэтому корень 24-й степени запишем как корень четвёртой степени из корня шестой степени: \[\sqrt[24]{(a - 12)^6} = \sqrt[4]{\sqrt[6]{(a - 12)^6}} = \sqrt[4]{|a - 12|}.\] Модуль снять нельзя: при \(a < 12\) выражение \(a - 12\) отрицательно.

Ответ: 1) \(\sqrt[3]{x}\); 2) \(\sqrt[3]{x^4}\); 3) \(a - 12\); 4) \(\sqrt[4]{|a - 12|}\).

Найдём область определения. Первое слагаемое определено при любом значении \(x\), так как \((x - 5)^{10} \geqslant 0\). Во втором слагаемом стоит корень десятой степени, поэтому \(x - 2 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 2\). Значит, \(D(y) = [2;\ +\infty)\).

При \(x \geqslant 2\) подкоренное выражение \(x - 2\) неотрицательно, поэтому десятая степень корня десятой степени из него равна самому этому выражению: \(\left(\sqrt[10]{x - 2}\right)^{10} = x - 2\). Первое слагаемое — корень чётной степени из той же чётной степени, он равен модулю: \(\sqrt[10]{(x - 5)^{10}} = |x - 5|\).

Значит, при \(x \geqslant 2\) выполняется равенство \(y = |x - 5| + x - 2\). Раскроем модуль: \[\begin{aligned} &\text{при } 2 \leqslant x \leqslant 5:\ y = 5 - x + x - 2 = 3; \\ &\text{при } x \geqslant 5:\ y = x - 5 + x - 2 = 2x - 7. \end{aligned}\]

График состоит из горизонтального отрезка \(y = 3\) от точки \((2;\ 3)\) до точки \((5;\ 3)\) и луча прямой \(y = 2x - 7\), идущего вправо от точки \((5;\ 3)\). Левый конец \((2;\ 3)\) принадлежит графику, левее него графика нет.

1) Показатель корня чётный, поэтому \(b - 3 \geqslant 0\), то есть \(b \geqslant 3\). Тогда \(b - 2 \geqslant 1\), и вносимый множитель положителен. Положительный множитель вносится под корень \(k\)-й степени в виде \(c = \sqrt[k]{c^k}\): \[(b - 2)\sqrt[4]{b - 3} = \sqrt[4]{(b - 2)^4} \cdot \sqrt[4]{b - 3} = \sqrt[4]{(b - 2)^4(b - 3)}.\]

2) Показатель корня чётный, поэтому \(m - 1 \geqslant 0\), то есть \(m \geqslant 1\). Знак множителя \(5 - m\) из этого условия не определяется — рассмотрим два случая.

Первый случай: \(1 \leqslant m \leqslant 5\). Тогда \(5 - m \geqslant 0\) и \(5 - m = \sqrt[6]{(5 - m)^6}\), поэтому \[(5 - m)\sqrt[6]{m - 1} = \sqrt[6]{(5 - m)^6} \cdot \sqrt[6]{m - 1} = \sqrt[6]{(5 - m)^6(m - 1)}.\]

Второй случай: \(m > 5\). Тогда \(5 - m < 0\) и \(5 - m = -\sqrt[6]{(5 - m)^6}\), поэтому минус остаётся перед корнем: \[(5 - m)\sqrt[6]{m - 1} = -\sqrt[6]{(5 - m)^6} \cdot \sqrt[6]{m - 1} = -\sqrt[6]{(5 - m)^6(m - 1)}.\]

Ответ: 1) \(\sqrt[4]{(b - 2)^4(b - 3)}\); 2) \(\sqrt[6]{(5 - m)^6(m - 1)}\) при \(1 \leqslant m \leqslant 5\) и \(-\sqrt[6]{(5 - m)^6(m - 1)}\) при \(m > 5\).

Все корни в выражении чётной степени, поэтому \(b \geqslant 0\). Делить на нуль нельзя, а числитель делителя равен \(2\sqrt[6]{b}\), значит, \(b \ne 0\); вместе получаем \(b > 0\).

Обозначим \(t = \sqrt[6]{b}\). При \(b > 0\) имеем \(t > 0\) и \[t^2 = \left(\sqrt[6]{b}\right)^2 = \sqrt[6]{b^2} = \sqrt[3]{b}.\] Тогда \(\sqrt[3]{b} - 9 = t^2 - 9 = (t - 3)(t + 3)\) и \(\sqrt[3]{b} - 6\sqrt[6]{b} + 9 = t^2 - 6t + 9 = (t - 3)^2\). Эти знаменатели отличны от нуля при \(t \ne 3\), то есть при \(b \ne 3^6\), \(b \ne 729\). Знаменатель \(t + 3\) положителен при всех допустимых значениях.

Сложим дроби в скобках, приведя их к общему знаменателю \((t - 3)^2(t + 3)\): \[\begin{aligned} &\frac{t}{(t - 3)(t + 3)} + \frac{t}{(t - 3)^2} = \frac{t(t - 3) + t(t + 3)}{(t - 3)^2(t + 3)} = {} \\ &= \frac{t^2 - 3t + t^2 + 3t}{(t - 3)^2(t + 3)} = \frac{2t^2}{(t - 3)^2(t + 3)}. \end{aligned}\]

Деление заменим умножением на дробь, обратную делителю; при этом \((3 - t)^2 = (t - 3)^2\): \[\frac{2t^2}{(t - 3)^2(t + 3)} : \frac{2t}{(3 - t)^2} = \frac{2t^2}{(t - 3)^2(t + 3)} \cdot \frac{(t - 3)^2}{2t} = \frac{t}{t + 3}.\]

Осталось прибавить последнюю дробь: \[\frac{t}{t + 3} + \frac{3}{t + 3} = \frac{t + 3}{t + 3} = 1.\]

Ответ: \(1\) при \(b > 0\), \(b \ne 729\).

Показатель корня чётный, поэтому область определения уравнения — промежуток \([0;\ +\infty)\).

Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, на области определения данное уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} x - a = 0, \\ \sqrt[4]{x} - 3 = 0. \end{array}\right.\] Сокращать на скобку нельзя: сокращение потеряло бы корни одного из уравнений совокупности.

Второе уравнение совокупности даёт \(\sqrt[4]{x} = 3\), откуда \(x = 3^4 = 81\). Число 81 принадлежит области определения, поэтому оно является корнем данного уравнения при любом значении параметра.

Первое уравнение совокупности даёт \(x = a\). Это число принадлежит области определения только при \(a \geqslant 0\), поэтому при \(a < 0\) корня оно не даёт.

Остаётся заметить, что при \(a = 81\) оба уравнения совокупности дают одно и то же число, и корень у данного уравнения один.

Значит, при \(a < 0\) уравнение имеет единственный корень \(x = 81\); при \(a = 81\) — тоже единственный корень \(x = 81\); при остальных неотрицательных значениях параметра — два корня \(x = a\) и \(x = 81\).

Ответ: при \(a < 0\) и при \(a = 81\) — один корень \(x = 81\); при \(a \geqslant 0\) и \(a \ne 81\) — два корня: \(x = a\) и \(x = 81\).