Контрольная работа 9 Вариант 2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) Функция определена и дифференцируема на множестве действительных чисел: \[f'(x) = \left(x^3 - x^2 - x\right)' = 3x^2 - 2x - 1 = (3x + 1)(x - 1).\]

Производная обращается в нуль при \(x = -\frac{1}{3}\) и при \(x = 1\). Определим её знак пробными точками: \(f'(-1) = 3 + 2 - 1 = 4 > 0\), \(f'(0) = -1 < 0\), \(f'(2) = 12 - 4 - 1 = 7 > 0\).

Исследовав знак производной, приходим к выводу, что функция \(f\) возрастает на каждом из промежутков \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{3}\right]\) и \([1;\ +\infty)\) и убывает на промежутке \(\left[-\frac{1}{3};\ 1\right]\). При переходе через точку \(x = -\frac{1}{3}\) производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку \(x = 1\) — с минуса на плюс, поэтому \(x_{\max} = -\frac{1}{3}\), \(x_{\min} = 1\).

2) Область определения задаётся неравенством \(12 - x \geqslant 0\), то есть \(D(f) = (-\infty;\ 12]\).

По правилу дифференцирования произведения и по теореме о производной сложной функции при \(x < 12\) получаем: \[\begin{aligned} &f'(x) = \left(x\sqrt{12 - x}\right)' = \sqrt{12 - x} + x \cdot \frac{(12 - x)'}{2\sqrt{12 - x}} = {} \\ &= \sqrt{12 - x} - \frac{x}{2\sqrt{12 - x}} = \frac{2(12 - x) - x}{2\sqrt{12 - x}} = \frac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}. \end{aligned}\]

Заметим, что в точке \(x = 12\) функция \(f\) не является дифференцируемой, однако является непрерывной.

При \(x < 12\) знаменатель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком выражения \(24 - 3x\): производная положительна при \(x < 8\) и отрицательна при \(8 < x < 12\).

Исследовав знак производной, приходим к выводу, что функция \(f\) возрастает на промежутке \((-\infty;\ 8]\) и убывает на промежутке \([8;\ 12]\). При переходе через точку \(x = 8\) производная меняет знак с плюса на минус, поэтому \(x_{\max} = 8\). Точек минимума функция не имеет: точка \(x = 12\) — конец области определения, а точки экстремума являются внутренними точками области определения.

3) Функция определена и дифференцируема на множестве действительных чисел: \[f'(x) = \left(x - \sqrt{2}\,\sin x\right)' = 1 - \sqrt{2}\cos x.\]

Неравенство \(f'(x) > 0\) равносильно неравенству \(\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}\), множество решений которого — промежутки \(\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi n;\ \frac{7\pi}{4} + 2\pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\). Неравенство \(f'(x) < 0\) равносильно неравенству \(\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}\), множество решений которого — промежутки \(\left(-\frac{\pi}{4} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{4} + 2\pi n\right)\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Функция \(f\) непрерывна на множестве действительных чисел, поэтому концы этих промежутков включаются: функция возрастает на каждом из промежутков \(\left[\frac{\pi}{4} + 2\pi n;\ \frac{7\pi}{4} + 2\pi n\right]\) и убывает на каждом из промежутков \(\left[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{4} + 2\pi n\right]\), \(n \in \mathbf{Z}\).

При переходе через точки \(-\frac{\pi}{4} + 2\pi n\) производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точки \(\frac{\pi}{4} + 2\pi n\) — с минуса на плюс. Значит, \(x_{\max} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n\), \(x_{\min} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Ответ: 1) функция возрастает на каждом из промежутков \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{3}\right]\) и \([1;\ +\infty)\), убывает на промежутке \(\left[-\frac{1}{3};\ 1\right]\), \(x_{\max} = -\frac{1}{3}\), \(x_{\min} = 1\); 2) функция возрастает на промежутке \((-\infty;\ 8]\), убывает на промежутке \([8;\ 12]\), \(x_{\max} = 8\), точек минимума нет; 3) функция возрастает на каждом из промежутков \(\left[\frac{\pi}{4} + 2\pi n;\ \frac{7\pi}{4} + 2\pi n\right]\), убывает на каждом из промежутков \(\left[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{4} + 2\pi n\right]\), \(x_{\max} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n\), \(x_{\min} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).

Функция \(f\) непрерывна на отрезке \([-4;\ 1]\). По определению модуля \(|x + 3| = -(x + 3)\) при \(x \leqslant -3\) и \(|x + 3| = x + 3\) при \(x \geqslant -3\). Значит, на промежутке \([-4;\ -3]\) имеем \(f(x) = -x^3 - 3x^2\), а на промежутке \([-3;\ 1]\) — \(f(x) = x^3 + 3x^2\).

Найдём критические точки функции \(f\), принадлежащие отрезку \([-4;\ 1]\).

При \(-4 < x < -3\) имеем \(f'(x) = -3x^2 - 6x = -3x(x + 2)\); здесь \(-3x > 0\) и \(x + 2 < 0\), поэтому \(f'(x) < 0\) и нулей производная здесь не имеет.

При \(-3 < x < 1\) имеем \(f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2)\), поэтому производная обращается в нуль при \(x = -2\) и при \(x = 0\).

В точке \(x = -3\) производной у функции \(f\) нет: производная функции \(y = -x^3 - 3x^2\) в этой точке равна \(-3 \cdot (-3)^2 - 6 \cdot (-3) = -9\), а производная функции \(y = x^3 + 3x^2\) равна \(3 \cdot (-3)^2 + 6 \cdot (-3) = 9\), поэтому отношение \(\frac{\Delta f}{\Delta x}\) при \(\Delta x \to 0\) ни к какому одному числу не стремится. Точка \(x = -3\) — внутренняя точка области определения, значит, она тоже критическая.

Следовательно, отрезку \([-4;\ 1]\) принадлежат три критические точки: \(x = -3\), \(x = -2\) и \(x = 0\).

Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка. Имеем: \(f(-4) = (-4)^2 \cdot |-4 + 3| = 16\), \(f(-3) = (-3)^2 \cdot 0 = 0\), \(f(-2) = (-2)^2 \cdot |-2 + 3| = 4\), \(f(0) = 0\), \(f(1) = 1^2 \cdot |1 + 3| = 4\).

Следовательно, \(\max\limits_{[-4;\ 1]} f(x) = f(-4) = 16\), \(\min\limits_{[-4;\ 1]} f(x) = f(-3) = f(0) = 0\): наибольшее значение достигается на конце отрезка, а наименьшее — в двух точках.

Ответ: наибольшее значение равно \(16\), наименьшее значение равно \(0\).

Пусть искомое число равно \(x\), причём \(x > 0\). Удвоенный квадратный корень из этого числа равен \(2\sqrt{x}\), поэтому разность между самим числом и этим корнем равна \(x - 2\sqrt{x}\).

Рассмотрим функцию \(f(x) = x - 2\sqrt{x}\) на промежутке \((0;\ +\infty)\) и найдём, при каком значении \(x\) она принимает наименьшее значение.

Имеем: \(f'(x) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}\).

Знаменатель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком выражения \(\sqrt{x} - 1\): при \(0 < x < 1\) имеем \(\sqrt{x} < 1\) и \(f'(x) < 0\), при \(x > 1\) имеем \(\sqrt{x} > 1\) и \(f'(x) > 0\).

Исследовав знак производной, приходим к выводу, что функция \(f\) убывает на промежутке \((0;\ 1]\) и возрастает на промежутке \([1;\ +\infty)\). При переходе через точку \(x = 1\) производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому \(x_{\min} = 1\).

Отсюда для любого положительного значения \(x\) выполняется неравенство \(f(x) \geqslant f(1)\), то есть наименьшее значение функция \(f\) принимает при \(x = 1\). Значит, искомое число равно \(1\) (при этом \(f(1) = 1 - 2 = -1\)).

Ответ: \(1\).

1. Функция определена на множестве действительных чисел, то есть \(D\,(f) = \mathbf{R}\).

2. Имеем: \(f(-x) = 2(-x)^2 - (-x)^4 = 2x^2 - x^4 = f(x)\). Значит, данная функция чётная и её график симметричен относительно оси ординат.

3—4. Имеем: \(f(x) = 2x^2 - x^4 = x^2\left(2 - x^2\right) = x^2\left(\sqrt{2} - x\right)\left(\sqrt{2} + x\right)\). Числа \(0\), \(-\sqrt{2}\) и \(\sqrt{2}\) являются нулями функции \(f\).

Множитель \(x^2\) положителен при \(x \ne 0\), поэтому знак функции совпадает со знаком выражения \(2 - x^2\) и при переходе через точку \(x = 0\) не меняется. Значит, \(f(x) > 0\) на каждом из промежутков \(\left(-\sqrt{2};\ 0\right)\) и \(\left(0;\ \sqrt{2}\right)\), \(f(x) < 0\) на каждом из промежутков \(\left(-\infty;\ -\sqrt{2}\right)\) и \(\left(\sqrt{2};\ +\infty\right)\).

5—6. Имеем: \(f'(x) = 4x - 4x^3 = -4x\left(x^2 - 1\right) = -4x(x - 1)(x + 1)\). Производная обращается в нуль при \(x = -1\), \(x = 0\) и \(x = 1\). Определим её знак пробными точками: \(f'(-2) = -8 + 32 = 24 > 0\), \(f'(-0{,}5) = -2 + 0{,}5 = -1{,}5 < 0\), \(f'(0{,}5) = 2 - 0{,}5 = 1{,}5 > 0\), \(f'(2) = 8 - 32 = -24 < 0\).

Исследовав знак производной, приходим к выводу, что функция \(f\) возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ -1]\) и \([0;\ 1]\), убывает на каждом из промежутков \([-1;\ 0]\) и \([1;\ +\infty)\), \(x_{\max} = -1\), \(x_{\min} = 0\) и \(x_{\max} = 1\). Имеем: \(f(-1) = f(1) = 2 - 1 = 1\), \(f(0) = 0\).

7. Имеем: \(f''(x) = 4 - 12x^2 = -12\left(x^2 - \frac{1}{3}\right) = -12\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3}\right)\). Вторая производная положительна при \(-\frac{\sqrt{3}}{3} < x < \frac{\sqrt{3}}{3}\) и отрицательна при \(x < -\frac{\sqrt{3}}{3}\) и при \(x > \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Исследовав знак второй производной, приходим к выводу, что функция \(f\) является выпуклой вниз на промежутке \(\left[-\frac{\sqrt{3}}{3};\ \frac{\sqrt{3}}{3}\right]\) и выпуклой вверх на каждом из промежутков \(\left(-\infty;\ -\frac{\sqrt{3}}{3}\right]\) и \(\left[\frac{\sqrt{3}}{3};\ +\infty\right)\).

Функция \(f\) дифференцируема на множестве действительных чисел, поэтому в точках с абсциссами \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) и \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) к её графику можно провести касательную; характер выпуклости в каждой из них меняется, следовательно, обе точки являются точками перегиба функции \(f\). Имеем: \(f\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{5}{9}\).

Учитывая полученные результаты, строим график функции.

Ответ: \(D\,(f) = \mathbf{R}\); функция чётная; нули функции \(x = 0\), \(x = -\sqrt{2}\) и \(x = \sqrt{2}\); \(f(x) > 0\) на каждом из промежутков \(\left(-\sqrt{2};\ 0\right)\) и \(\left(0;\ \sqrt{2}\right)\), \(f(x) < 0\) на каждом из промежутков \(\left(-\infty;\ -\sqrt{2}\right)\) и \(\left(\sqrt{2};\ +\infty\right)\); функция возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ -1]\) и \([0;\ 1]\), убывает на каждом из промежутков \([-1;\ 0]\) и \([1;\ +\infty)\); \(x_{\max} = -1\) и \(x_{\max} = 1\), \(f(-1) = f(1) = 1\); \(x_{\min} = 0\), \(f(0) = 0\); функция выпуклая вниз на промежутке \(\left[-\frac{\sqrt{3}}{3};\ \frac{\sqrt{3}}{3}\right]\) и выпуклая вверх на каждом из промежутков \(\left(-\infty;\ -\frac{\sqrt{3}}{3}\right]\) и \(\left[\frac{\sqrt{3}}{3};\ +\infty\right)\); точки перегиба \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{3};\ \frac{5}{9}\right)\) и \(\left(\frac{\sqrt{3}}{3};\ \frac{5}{9}\right)\).

При любом значении параметра функция \(f\) определена и дифференцируема на множестве действительных чисел, причём \[f'(x) = \left(\frac{ax^3}{3} + x^2 + a^2x\right)' = ax^2 + 2x + a^2.\]

Точки экстремума следует искать среди критических точек, а функция \(f\) дифференцируема всюду, поэтому если точка \(x_0 = -1\) является точкой минимума, то \(f'(-1) = 0\). Получаем: \[a - 2 + a^2 = 0;\quad a^2 + a - 2 = 0;\quad (a + 2)(a - 1) = 0.\] Отсюда \(a = -2\) или \(a = 1\). Равенство \(f'(-1) = 0\) — условие необходимое, но не достаточное, поэтому каждое из найденных значений надо проверить.

Пусть \(a = 1\). Тогда \(f'(x) = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\). При всех \(x \ne -1\) выполняется неравенство \(f'(x) > 0\), поэтому функция \(f\) возрастает на каждом из промежутков \((-\infty;\ -1]\) и \([-1;\ +\infty)\), то есть возрастает на множестве действительных чисел. Тогда в любой окрестности точки \(x_0 = -1\) есть значения \(x < -1\), для которых \(f(x) < f(-1)\), и неравенство \(f(-1) \leqslant f(x)\) выполняется не для всех \(x\) из этой окрестности. Значит, при \(a = 1\) точка \(x_0 = -1\) точкой минимума не является, и это значение параметра не подходит.

Пусть \(a = -2\). Тогда \(f'(x) = -2x^2 + 2x + 4 = -2\left(x^2 - x - 2\right) = -2(x - 2)(x + 1)\). При \(x < -1\) множители \(x - 2\) и \(x + 1\) отрицательны, их произведение положительно, поэтому \(f'(x) < 0\); при \(-1 < x < 2\) множитель \(x + 1\) положителен, а множитель \(x - 2\) отрицателен, их произведение отрицательно, поэтому \(f'(x) > 0\). При переходе через точку \(x_0 = -1\) производная меняет знак с минуса на плюс, значит, точка \(x_0 = -1\) является точкой минимума.

Ответ: \(a = -2\).