Контрольная работа 4 Вариант 2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

Область определения находим по исходной записи функции, до упрощения. Степень с рациональным показателем определена только для положительного основания (для основания, равного нулю, — лишь при натуральных числителе и знаменателе показателя, а показатель \(-\frac15\) отрицателен). Поэтому \(x^2 - 4 > 0\).

Разложим левую часть на множители: \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\). Произведение положительно, когда оба множителя отрицательны, то есть при \(x < -2\), и когда оба положительны, то есть при \(x > 2\). Значит, \(D(y) = (-\infty;\ -2) \cup (2;\ +\infty)\).

При таких значениях \(x\) основание положительно, а при возведении степени в степень показатели перемножают: \[\left(\left(x^2 - 4\right)^{-\frac15}\right)^{-5} = \left(x^2 - 4\right)^{-\frac15 \cdot (-5)} = \left(x^2 - 4\right)^1 = x^2 - 4.\]

Значит, данную функцию можно задать такими условиями: \(y = x^2 - 4\), где \(x < -2\) или \(x > 2\). График — две ветви параболы \(y = x^2 - 4\), лежащие левее точки \((-2;\ 0)\) и правее точки \((2;\ 0)\); сами эти точки выколоты, а дуги параболы между ними на графике нет.

Свойства степени с рациональным показателем верны для положительного основания, поэтому считаем, что \(a > 0\) (в пункте 3) ещё и \(b > 0\)).

1) При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитают; общий знаменатель показателей — 30: \[a^{\frac{8}{15}} : a^{-\frac16} = a^{\frac{8}{15} + \frac16} = a^{\frac{16}{30} + \frac{5}{30}} = a^{\frac{21}{30}} = a^{\frac{7}{10}}.\]

2) При возведении степени в степень показатели перемножают, при умножении складывают, при делении вычитают: \[\begin{aligned} &\left(a^{-0{,}8}\right)^4 \cdot \left(a^{-1{,}4}\right)^{-2} : \left(a^{0{,}4}\right)^{-6} = a^{-3{,}2} \cdot a^{2{,}8} : a^{-2{,}4} = {} \\ &= a^{-3{,}2 + 2{,}8 + 2{,}4} = a^2. \end{aligned}\]

3) Смешанные числа в показателях превратим в неправильные дроби: \(4\frac38 = \frac{35}{8}\), \(2\frac{11}{12} = \frac{35}{12}\). Каждый множитель возводится в степень \(\frac{4}{35}\) отдельно: \[\left(a^{\frac{35}{8}} b^{\frac{35}{12}}\right)^{\frac{4}{35}} = a^{\frac{35}{8} \cdot \frac{4}{35}} b^{\frac{35}{12} \cdot \frac{4}{35}} = a^{\frac12} b^{\frac13}.\]

Ответ: 1) \(a^{\frac{7}{10}}\); 2) \(a^2\); 3) \(a^{\frac12}b^{\frac13}\).

Степени с рациональным показателем определены для положительного основания, поэтому в пункте 1) считаем, что \(m > 0\), в пункте 2) — что \(b > 0\) и \(c > 0\), в пункте 3) — что \(x > 0\) и \(y > 0\); кроме того, знаменатель каждой дроби отличен от нуля.

1) Здесь общий множитель стоит в знаменателе: \(m^{\frac18} \cdot m^{\frac78} = m\), поэтому \(m - 12m^{\frac18} = m^{\frac18}\left(m^{\frac78} - 12\right)\). Значит, \[\frac{m^{\frac78} - 12}{m - 12m^{\frac18}} = \frac{m^{\frac78} - 12}{m^{\frac18}\left(m^{\frac78} - 12\right)} = \frac{1}{m^{\frac18}}.\] Сокращение законно при \(m^{\frac78} \ne 12\).

2) Знаменатель — разность квадратов: \(b^{\frac14} = \left(b^{\frac18}\right)^2\) и \(25c^{\frac17} = \left(5c^{\frac{1}{14}}\right)^2\). Значит, \[\frac{b^{\frac18} + 5c^{\frac{1}{14}}}{b^{\frac14} - 25c^{\frac17}} = \frac{b^{\frac18} + 5c^{\frac{1}{14}}}{\left(b^{\frac18} - 5c^{\frac{1}{14}}\right)\left(b^{\frac18} + 5c^{\frac{1}{14}}\right)} = \frac{1}{b^{\frac18} - 5c^{\frac{1}{14}}}.\] Сокращение законно при \(b^{\frac18} \ne 5c^{\frac{1}{14}}\).

3) Числитель — квадрат суммы: \(x^{\frac13} = \left(x^{\frac16}\right)^2\), \(9y^{\frac12} = \left(3y^{\frac14}\right)^2\), а \(6x^{\frac16}y^{\frac14} = 2 \cdot x^{\frac16} \cdot 3y^{\frac14}\). В знаменателе вынесем общий множитель \(x^{\frac16}y^{\frac14}\): \[\begin{aligned} &\frac{x^{\frac13} + 6x^{\frac16} y^{\frac14} + 9y^{\frac12}}{x^{\frac13} y^{\frac14} + 3x^{\frac16} y^{\frac12}} = \frac{\left(x^{\frac16} + 3y^{\frac14}\right)^2}{x^{\frac16}y^{\frac14}\left(x^{\frac16} + 3y^{\frac14}\right)} = {} \\ &= \frac{x^{\frac16} + 3y^{\frac14}}{x^{\frac16}y^{\frac14}}. \end{aligned}\] Выражение \(x^{\frac16} + 3y^{\frac14}\) при положительных основаниях положительно, поэтому дополнительных ограничений нет.

Ответ: 1) \(\dfrac{1}{m^{\frac18}}\); 2) \(\dfrac{1}{b^{\frac18} - 5c^{\frac{1}{14}}}\); 3) \(\dfrac{x^{\frac16} + 3y^{\frac14}}{x^{\frac16}y^{\frac14}}\).

1) Область определения уравнения задаётся условием \(x^2 - 7 \geqslant 0\), откуда \(x \leqslant -\sqrt7\) или \(x \geqslant \sqrt7\).

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель: \[(x - 2)\sqrt{x^2 - 7} - 3(x - 2) = 0;\] \[(x - 2)\left(\sqrt{x^2 - 7} - 3\right) = 0.\] Делить обе части на \(x - 2\) нельзя: при \(x = 2\) этот множитель обращается в нуль, и деление отбросило бы значение \(x = 2\) без проверки. На области определения данное уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} x - 2 = 0, \\ \sqrt{x^2 - 7} = 3. \end{array}\right.\]

Первое уравнение совокупности даёт \(x = 2\), но это число не принадлежит области определения: \(4 - 7 = -3 < 0\). Значит, корнем данного уравнения оно не является.

Во втором уравнении правая часть неотрицательна, поэтому оно равносильно уравнению \(x^2 - 7 = 9\). Отсюда \(x^2 = 16\); \(x = -4\) или \(x = 4\). Оба числа принадлежат области определения, так как \(16 - 7 = 9 \geqslant 0\).

2) Область определения уравнения задаётся условиями \(x + 4 \geqslant 0\) и \(x - 1 \geqslant 0\), то есть это множество \(M = [1;\ +\infty)\).

Уединим радикал: \(\sqrt{x + 4} = 1 + \sqrt{x - 1}\). На множестве \(M\) обе части последнего уравнения принимают неотрицательные значения, поэтому возведение в квадрат даёт уравнение, равносильное данному на \(M\): \[x + 4 = 1 + 2\sqrt{x - 1} + x - 1;\] \[2\sqrt{x - 1} = 4;\] \[\sqrt{x - 1} = 2.\] Обе части снова неотрицательны, поэтому \(x - 1 = 4\); \(x = 5\). Число 5 принадлежит множеству \(M\).

3) Обозначим \(u = \sqrt[3]{8 - x}\), \(v = \sqrt[3]{8 + x}\). Тогда \(u^3 = 8 - x\) и \(v^3 = 8 + x\), откуда \(u^3 + v^3 = 16\), а данное уравнение принимает вид \(u + v = 4\).

Возведём равенство \(u + v = 4\) в куб, воспользовавшись тождеством \((u + v)^3 = u^3 + v^3 + 3uv\,(u + v)\): \[u^3 + v^3 + 3uv\,(u + v) = 64;\] \[16 + 3uv \cdot 4 = 64;\] \[uv = 4.\]

Значит, сумма чисел \(u\) и \(v\) равна 4, а произведение равно 4, то есть эти числа — корни квадратного уравнения \(t^2 - 4t + 4 = 0\). Отсюда \(t = 2\), поэтому \(u = 2\) и \(v = 2\). Тогда \(8 - x = 8\), откуда \(x = 0\).

При переходе к равенству \(uv = 4\) использовано само уравнение, поэтому полученное уравнение является следствием данного и проверка обязательна.

Проверка: при \(x = 0\) левая часть равна \(\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8} = 2 + 2 = 4\), правая часть равна 4. Равенство верное, значит, число 0 — корень данного уравнения.

Ответ: 1) \(-4\); \(4\); 2) \(5\); 3) \(0\).

1) Неравенство вида «корень меньше выражения» равносильно системе трёх условий: подкоренное выражение меньше квадрата правой части, правая часть положительна, подкоренное выражение неотрицательно. Данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases} 5 - 4x < x^2, \\ x > 0, \\ 5 - 4x \geqslant 0. \end{cases}\]

Первое неравенство системы: \(x^2 + 4x - 5 > 0\); \((x + 5)(x - 1) > 0\), откуда \(x < -5\) или \(x > 1\). Третье неравенство даёт \(x \leqslant 1{,}25\). Значит, \[\begin{cases} \left[\begin{array}{l} x < -5, \\ x > 1, \end{array}\right. \\ x > 0, \\ x \leqslant 1{,}25; \end{cases} \quad 1 < x \leqslant 1{,}25.\]

2) Неравенство вида «корень больше выражения» равносильно совокупности двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} x < 0, \\ 6x - 8 \geqslant 0, \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant 0, \\ 6x - 8 > x^2. \end{cases} \end{array}\right.\]

Первая система решений не имеет: из неравенства \(6x - 8 \geqslant 0\) следует \(x \geqslant \frac43\), что несовместно с условием \(x < 0\).

Вторая система: \(x^2 - 6x + 8 < 0\); \((x - 2)(x - 4) < 0\), откуда \(2 < x < 4\). Все эти числа положительны, поэтому условие \(x \geqslant 0\) выполняется, и вторая система даёт \(2 < x < 4\).

Ответ: 1) \((1;\ 1{,}25]\); 2) \((2;\ 4)\).