Страница 107 номер 166, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
В коробке лежат 10 фломастеров, из которых 3 уже закончились, а 7 продолжают писать. Фломастеры вытаскивают из коробки один за другим наугад. С какой вероятностью фломастер, который не пишет, появится первый раз третьим по счёту?
Фломастеры вынимают наугад; будем считать, что вынутый фломастер обратно в коробку не кладут, — тогда каждый из оставшихся может оказаться вынутым с равной вероятностью. \(A_k\) = «\(k\)-й по счёту фломастер не пишет». Фломастер, который не пишет, впервые появится третьим по счёту, если первые два пишут, а третий — нет: событие \(\overline{A}_1 \cap \overline{A}_2 \cap A_3\).
Из 10 фломастеров пишут 7: \(P(\overline{A}_1) = \frac{7}{10}\); если первый пишет, из 9 оставшихся пишут 6: \(P(\overline{A}_2 \mid \overline{A}_1) = \frac{6}{9}\); если пишут оба первых, в коробке 8 фломастеров, среди них все 3, которые не пишут: \(P(A_3 \mid \overline{A}_1 \cap \overline{A}_2) = \frac{3}{8}\).
\[P(\overline{A}_1 \cap \overline{A}_2 \cap A_3) = \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{126}{720} = \frac{7}{40}.\]
Ответ: фломастер, который не пишет, впервые появится третьим по счёту с вероятностью \(\frac{7}{40}\).
В коробке лежат 10 фломастеров, из которых 3 уже закончились, а 7 продолжают писать. Фломастеры вытаскивают из коробки один за другим наугад. С какой вероятностью фломастер, который не пишет, появится первый раз третьим по счёту?
Фломастеры вынимают наугад; будем считать, что вынутый фломастер обратно в коробку не кладут. Тогда каждый из оставшихся фломастеров может оказаться вынутым с равной вероятностью. Рассмотрим события \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), где \(A_k\) = «\(k\)-й по счёту фломастер не пишет». Фломастер, который не пишет, впервые появится третьим по счёту, если первые два фломастера пишут, а третий — нет, то есть произойдёт событие \(\overline{A}_1 \cap \overline{A}_2 \cap A_3\).
Из 10 фломастеров пишут 7: \(P(\overline{A}_1) = \frac{7}{10}\). Если первый фломастер пишет, из 9 оставшихся пишут 6: \(P(\overline{A}_2 \mid \overline{A}_1) = \frac{6}{9}\). Если пишут оба первых, в коробке осталось 8 фломастеров, и среди них все 3, которые не пишут: \(P(A_3 \mid \overline{A}_1 \cap \overline{A}_2) = \frac{3}{8}\). По правилу умножения вероятностей для трёх событий:
\[P(\overline{A}_1 \cap \overline{A}_2 \cap A_3) = \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{126}{720} = \frac{7}{40}.\]
Ответ: фломастер, который не пишет, впервые появится третьим по счёту с вероятностью \(\frac{7}{40}\).
