Страница 107 номер 162, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Круги \(A\) и \(B\) делят прямоугольник \(\Omega\) на четыре части — четыре несовместных события: \(p_1\) — вероятность того, что произойдёт \(A\), а \(B\) — нет (событие \(A \cap \overline{B}\)); \(p_2\) — что произойдёт \(B\), а \(A\) — нет (\(\overline{A} \cap B\)); \(p_3\) — что произойдут оба события (\(A \cap B\)); \(p_4\) — что не произойдёт ни одно из них (\(\overline{A} \cap \overline{B}\)).
События \(A\) и \(B\) независимы, \(P(A) = 0{,}6\), \(P(B) = 0{,}7\):
\[p_3 = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 = 0{,}42.\]
Части несовместны: \(P(A) = p_1 + p_3\), \(P(B) = p_2 + p_3\) и \(p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1\), откуда
\[\begin{aligned} p_1 &= P(A) - p_3 = 0{,}6 - 0{,}42 = 0{,}18; \\ p_2 &= P(B) - p_3 = 0{,}7 - 0{,}42 = 0{,}28; \\ p_4 &= 1 - p_1 - p_2 - p_3 = 1 - 0{,}18 - 0{,}28 - 0{,}42 = 0{,}12. \end{aligned}\]
Ответ: \(p_1 = 0{,}18\) (произойдёт только \(A\)), \(p_2 = 0{,}28\) (только \(B\)), \(p_3 = 0{,}42\) (оба события), \(p_4 = 0{,}12\) (ни одно из них).
По условию события \(A\) и \(B\) независимы, \(P(A) = 0{,}6\), \(P(B) = 0{,}7\). Круги \(A\) и \(B\) делят прямоугольник \(\Omega\) на четыре непересекающиеся части — четыре несовместных события: \(p_1\) — вероятность того, что событие \(A\) произойдёт, а \(B\) — нет (часть круга \(A\) вне круга \(B\), событие \(A \cap \overline{B}\)); \(p_2\) — что произойдёт \(B\), а \(A\) — нет (часть круга \(B\) вне круга \(A\), событие \(\overline{A} \cap B\)); \(p_3\) — что произойдут оба события (общая часть кругов, событие \(A \cap B\)); \(p_4\) — что не произойдёт ни одно из них (часть прямоугольника вне кругов, событие \(\overline{A} \cap \overline{B}\)).
События \(A\) и \(B\) независимы, поэтому вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей:
\[p_3 = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 = 0{,}42.\]
Событие \(A\) — объединение двух несовместных частей с вероятностями \(p_1\) и \(p_3\), событие \(B\) — частей с вероятностями \(p_2\) и \(p_3\), а все четыре части вместе составляют \(\Omega\). По формуле суммы для несовместных событий \(P(A) = p_1 + p_3\), \(P(B) = p_2 + p_3\) и \(p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1\), откуда
\[\begin{aligned} p_1 &= P(A) - p_3 = 0{,}6 - 0{,}42 = 0{,}18; \\ p_2 &= P(B) - p_3 = 0{,}7 - 0{,}42 = 0{,}28; \\ p_4 &= 1 - p_1 - p_2 - p_3 = 1 - 0{,}18 - 0{,}28 - 0{,}42 = 0{,}12. \end{aligned}\]
Ответ: \(p_1 = 0{,}18\) (произойдёт только \(A\)), \(p_2 = 0{,}28\) (только \(B\)), \(p_3 = 0{,}42\) (оба события), \(p_4 = 0{,}12\) (ни одно из них).
