Страница 119 номер 185, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
В долине Стабильности бывают только дождливые и солнечные дни, причём с вероятностью 0,9 на следующий день сохраняется та же погода, которая была в предыдущий. 1 мая был дождь. С какой вероятностью 5 мая будет солнце?
\(A_k\) — событие «\(k\) мая в долине будет солнце». Погода следующего дня зависит только от погоды предыдущего: с вероятностью \(0{,}9\) она сохраняется, с вероятностью \(1 - 0{,}9 = 0{,}1\) меняется.
Для каждого дня \(k\) со 2 по 5 мая полная группа из двух событий: \(A_{k-1}\) (накануне было солнце) и \(\overline{A}_{k-1}\) (накануне был дождь) — других дней в долине не бывает.
\(P(A_k \mid A_{k-1}) = 0{,}9\) — накануне было солнце, оно сохранится.
\(P(A_k \mid \overline{A}_{k-1}) = 0{,}1\) — накануне был дождь, солнце наступит, только если погода сменится.
По формуле полной вероятности
\[P(A_k) = P(A_{k-1}) \cdot 0{,}9 + P(\overline{A}_{k-1}) \cdot 0{,}1.\]
Первого мая был дождь: \(P(A_1) = 0\), \(P(\overline{A}_1) = 1\); дальше каждый раз \(P(\overline{A}_{k-1}) = 1 - P(A_{k-1})\):
\[\begin{aligned} P(A_2) &= 0 \cdot 0{,}9 + 1 \cdot 0{,}1 = 0{,}1; \\ P(A_3) &= 0{,}1 \cdot 0{,}9 + 0{,}9 \cdot 0{,}1 = 0{,}09 + 0{,}09 = 0{,}18; \\ P(A_4) &= 0{,}18 \cdot 0{,}9 + 0{,}82 \cdot 0{,}1 = 0{,}162 + 0{,}082 = 0{,}244; \\ P(A_5) &= 0{,}244 \cdot 0{,}9 + 0{,}756 \cdot 0{,}1 = 0{,}2196 + 0{,}0756 = 0{,}2952. \end{aligned}\]
Ответ: вероятность того, что 5 мая будет солнце, равна \(0{,}2952\).
В долине Стабильности бывают только дождливые и солнечные дни, причём с вероятностью 0,9 на следующий день сохраняется та же погода, которая была в предыдущий. 1 мая был дождь. С какой вероятностью 5 мая будет солнце?
Обозначим через \(A_k\) событие «\(k\) мая в долине будет солнце». Погода следующего дня зависит только от погоды предыдущего: с вероятностью \(0{,}9\) она сохраняется и с вероятностью \(1 - 0{,}9 = 0{,}1\) меняется.
Для каждого дня \(k\) со 2 по 5 мая возьмём полную группу из двух событий: \(A_{k-1}\) (накануне было солнце) и \(\overline{A}_{k-1}\) (накануне был дождь) — других дней в долине не бывает. Если накануне было солнце, оно сохранится с вероятностью \(P(A_k \mid A_{k-1}) = 0{,}9\); если был дождь, солнце наступит, только если погода сменится: \(P(A_k \mid \overline{A}_{k-1}) = 0{,}1\). По формуле полной вероятности
\[P(A_k) = P(A_{k-1}) \cdot 0{,}9 + P(\overline{A}_{k-1}) \cdot 0{,}1.\]
Первого мая был дождь, поэтому \(P(A_1) = 0\), \(P(\overline{A}_1) = 1\). От 1 до 5 мая погода переходит от дня к дню четыре раза, и вероятность противоположного события каждый раз равна \(1 - P(A_{k-1})\):
\[\begin{aligned} P(A_2) &= 0 \cdot 0{,}9 + 1 \cdot 0{,}1 = 0{,}1; \\ P(A_3) &= 0{,}1 \cdot 0{,}9 + 0{,}9 \cdot 0{,}1 = 0{,}09 + 0{,}09 = 0{,}18; \\ P(A_4) &= 0{,}18 \cdot 0{,}9 + 0{,}82 \cdot 0{,}1 = 0{,}162 + 0{,}082 = 0{,}244; \\ P(A_5) &= 0{,}244 \cdot 0{,}9 + 0{,}756 \cdot 0{,}1 = 0{,}2196 + 0{,}0756 = 0{,}2952. \end{aligned}\]
Ответ: вероятность того, что 5 мая будет солнце, равна \(0{,}2952\).
