Страница 98 номер 149, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Справедливы ли следующие утверждения: а) \(P(A) + P(B) = 1 \Rightarrow\) события \(A\) и \(B\) противоположные; б) \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) \Rightarrow\) события \(A\) и \(B\) несовместные?
а) Утверждение неверно. Пример: бросают симметричный кубик, все 6 исходов равновозможны; \(A\) = «выпадет чётное число очков» = \(\{2,\ 4,\ 6\}\), \(B\) = «выпадет больше трёх очков» = \(\{4,\ 5,\ 6\}\). Тогда \(P(A) + P(B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} = 1\), но события \(A\) и \(B\) не противоположные: если выпадет 4 очка, произойдут оба события, а если выпадет одно очко — ни одно из них.
б) Из \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) и равенства \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) следует, что \(P(A \cap B) = 0\).
Вероятность события равна сумме вероятностей благоприятных для него исходов, а в опытах, которые мы рассматриваем, у каждого исхода вероятность положительна. Поэтому событию с вероятностью 0 не благоприятствует ни один исход — оно невозможное: \(A \cap B = \varnothing\). Значит, события \(A\) и \(B\) несовместны, и утверждение верно. Без условия, что у каждого исхода вероятность положительна, из равенства \(P(A \cap B) = 0\) нельзя было бы заключить, что у событий \(A\) и \(B\) нет общих исходов.
Ответ: а) утверждение неверно; б) утверждение верно (при условии, что у каждого исхода опыта вероятность положительна).
Справедливы ли следующие утверждения: а) \(P(A) + P(B) = 1 \Rightarrow\) события \(A\) и \(B\) противоположные; б) \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) \Rightarrow\) события \(A\) и \(B\) несовместные?
а) Утверждение: если \(P(A) + P(B) = 1\), то события \(A\) и \(B\) противоположные. Оно неверно — приведём пример. Бросают симметричный кубик; все 6 исходов равновозможны. Пусть \(A\) = «выпадет чётное число очков» = \(\{2,\ 4,\ 6\}\), \(B\) = «выпадет больше трёх очков» = \(\{4,\ 5,\ 6\}\). Тогда \(P(A) + P(B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} = 1\), но события \(A\) и \(B\) не противоположные: если выпадет 4 очка, произойдут оба события, а если выпадет одно очко — ни одно из них. Противоположное к \(A\) событие — \(\overline{A}\) = «выпадет нечётное число очков» = \(\{1,\ 3,\ 5\}\).
б) Утверждение: если \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\), то события \(A\) и \(B\) несовместные. По формуле суммы для произвольных событий \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\), поэтому из равенства \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) следует, что \(P(A \cap B) = 0\).
Вероятность события равна сумме вероятностей благоприятных для него исходов, а в опытах, которые мы рассматриваем, у каждого исхода вероятность положительна. Поэтому событию с вероятностью 0 не благоприятствует ни один исход — оно невозможное: \(A \cap B = \varnothing\). Значит, события \(A\) и \(B\) несовместны, и утверждение верно. Условие, что у каждого исхода вероятность положительна, здесь существенно: без него из равенства \(P(A \cap B) = 0\) нельзя было бы заключить, что у событий \(A\) и \(B\) нет общих исходов.
Ответ: а) утверждение неверно; б) утверждение верно (при условии, что у каждого исхода опыта вероятность положительна).
