Страница 107 номер 168, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Каждый из 5 учеников случайно записывается на один из 8 предложенных факультативов. С какой вероятностью хотя бы двое из них выберут один и тот же факультатив?
Будем считать, что каждый ученик записывается на факультатив наугад — на любой из 8 с вероятностью \(\frac{1}{8}\) — и независимо от других. \(A\) = «хотя бы двое выберут один и тот же факультатив», противоположное событие \(\overline{A}\) = «все пятеро выберут разные факультативы».
Первый ученик выбирает любой факультатив; чтобы все выбрали разные, второму подходят 7 факультативов из 8; если первые двое выбрали разные, третьему — 6 из 8, затем четвёртому — 5 из 8, пятому — 4 из 8:
\[\begin{aligned} P(\overline{A}) &= \frac{7}{8} \cdot \frac{6}{8} \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{8} = \frac{840}{4096} = \frac{105}{512}; \\ P(A) &= 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{105}{512} = \frac{407}{512} \approx 0{,}795. \end{aligned}\]
Ответ: хотя бы двое выберут один и тот же факультатив с вероятностью \(\frac{407}{512} \approx 0{,}795\).
Каждый из 5 учеников случайно записывается на один из 8 предложенных факультативов. С какой вероятностью хотя бы двое из них выберут один и тот же факультатив?
Будем считать, что каждый ученик записывается на факультатив наугад — на любой из 8 с вероятностью \(\frac{1}{8}\) — и независимо от других. Событие \(A\) = «хотя бы двое выберут один и тот же факультатив» противоположно событию \(\overline{A}\) = «все пятеро выберут разные факультативы».
Первый ученик выбирает любой факультатив. Чтобы все выбрали разные, второму подходят 7 факультативов из 8; если первые двое выбрали разные, третьему подходят 6 из 8; затем четвёртому — 5 из 8, пятому — 4 из 8. По правилу умножения вероятностей находим \(P(\overline{A})\), а затем вероятность противоположного ему события \(A\):
\[\begin{aligned} P(\overline{A}) &= \frac{7}{8} \cdot \frac{6}{8} \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{8} = \frac{840}{4096} = \frac{105}{512}; \\ P(A) &= 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{105}{512} = \frac{407}{512} \approx 0{,}795. \end{aligned}\]
Ответ: хотя бы двое выберут один и тот же факультатив с вероятностью \(\frac{407}{512} \approx 0{,}795\).
